Геометрия 9 класс Многоугольники Ломаная, выпуклые многоугольники, правильные многоугольники

Ломаная Опр. Ломаная А 1 А 2 …А n – фигура, состоящая из точек А 1, А 2, …,А n и соединяющих их отрезков А 1 А 2, А 2 А 3, …,А n-1 А n. Точки А 1, А 2, …,А n – вершины ломаной; отрезки А 1 А 2, А 2 А 3, …,А n-1 А n – звенья. Опр. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. Длина ломаной – сумма длин её частей.

Теорема: Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего его концы. 1. АВСD – ломаная, АВ = 3 см, ВС = 4 см, CD = 2 см. Может ли длина отрезка АD быть равной а) 10 см; б) 7 см; в) 9 см? Решение:

2. Найти длину ломаной А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6, где А 1, А 2, А 3, А 4 вершины квадрата со стороной 2 см, А 5 – точка пересечения диагоналей, А 6 – середина А 1 А 4. Решение:

Выпуклые многоугольники Опр. Ломаная, концы которой совпадают, называется замкнутой. Опр. Многоугольник – это простая замкнутая ломаная, у которой соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной – вершины многоугольника; звенья ломаной – стороны многоугольника. Опр. Диагонали многоугольника – отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника. Опр. Многоугольник с n -вершинами – n-угольник. Опр. Плоский многоугольник (многоугольная область) – часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Опр. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Приведите примеры выпуклых многоугольников.

Теорема: Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180˚( n – 2). 3. Вычислить сумму углов выпуклого а) пятиугольника; б) десятиугольника. Решение:

4. Может ли пятиугольник иметь стороны 3 см, 4 см, 6 см, 8 см, 25 см ? Решение:

5. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины n -угольника, если n =4; n =5; n =6; n произвольное натуральное число, больше 2? Решение:

6. Из одной вершины n -угольника проводятся все диагонали. Сколько образуется треугольников, если n =4; n =5; n =6; n произвольное натуральное число, больше 2? n кол-во диагоналейкол-во треугольников n = 4 n = 5 n = 6 n- уг.

7. Чему равна сумма внешних углов выпуклого n - угольника, взятых по одному при каждой вершине? Решение: 1) Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине 180˚; 2) Сумма всех внешних и внутренних углов 180˚ n ; 3) Сумма внутренних углов n -угольника 180˚( n – 2); 4) Сумма внешних углов n -угольника 180˚ n – 180˚( n – 2) = 180˚ n – 180˚ n + 180˚ 2 = 360˚.

8. Углы выпуклого четырёхугольника пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Найти эти углы. Решение.

Правильные многоугольники Опр. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Опр. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Опр. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности.

Теорема: Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Опр. Центры окружностей правильного многоугольника совпадают и называются центром правильного многоугольника. Опр. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.

1. Муха ползёт по многоугольной рамке из точки А, поворачивая в каждой вершине вправо. Чему равна сумма углов её поворотов, когда она снова попадёт в вершину А ? Решение: А

2. Сколько сторон имеет n -угольник, если сумма его внутренних углов равна а) 1260˚; б) 1980˚? Решение:

3. Назовите выпуклый четырёхугольник, у которого все внешние углы прямые. 4. У какого выпуклого многоугольника сумма внутренних углов равна сумме внешних? Решение: 1) Сумма внутренних углов равна 180˚( n – 2); 2) Сумма внешних углов равна 360˚; 3) Количество сторон равно 180˚( n – 2) = 360˚; n – 2 = 2; n = 4.

5. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые? 6. Найти сумму углов а) шестиугольника; б) семиугольника; в) одиннадцатиугольника. Решение:

7. Чему равен угол правильного шестиугольника, восьмиугольника? Решение:

8. Существует ли многоугольник, сумма углов которого равна а) 1080˚; б) 2160˚? Решение:

9. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 4140˚? Решение: