ПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ « РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» ПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ « РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» ПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ « РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» ЛЕНЬШИНА АЛИНА 9 «А»

- геометрическая фигура, состоит из 3х точек не лежащих на 1ой прямой, и 3х отрезков, попарно соединяющих эти точки. вершина сторона ABC BCA CBA НАЗВАНИЯ МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОМ: 1) 2) ТРЕУГОЛЬНИК

ТРЕУГОЛЬНИКИ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ, ЕСЛИ У НИХ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СТОРОНЫ РАВНЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ. ПРИ ЭТОМ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ ДОЛЖНЫ ЛЕЖАТЬ ПРОТИВ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТОРОН КМОABC=,ТО АВСКМО = ВСАМОК = САВОКМ = АВКМ = ВСМО = САОК =

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ) ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ И УГОЛ МЕЖДУ НИМИ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ) ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ И УГОЛ МЕЖДУ НИМИ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ

С А В ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ДАНО: А ВСи А 1 В 1 С 1 АВ=А 1 В 1 АС=А 1 С 1 L А= L А 1 ДОКАЗАТЬ: А ВС= А 1 В 1 С 1 С 1 А 1 В 1 1. ДОКАЖЕМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ 2.2. ПУСТЬ у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 АВ=А 1 В 1 АС=А 1 С 1 LА= LА 1 ПУСТЬ А 1 В 2 С 2 = АВС, с вершиной В 2 на луче А 1 В 1 и вершиной С 2 в той же полуплоскости относительно прямой А 1 В 1, где лежит вершина С 1 => А 1 В 1 = А 1 В 2 АВ=А 1 В 1 (ПО УСЛОВИЮ) АВ = А 1 В 2 (2) Вершина В 2 СОВПАДЕТ С В 1 А) => LВА 1 С 1 = LВ 2 А 1 С 2 Луч А 1 С 2 совпадет с лучем А 1 С 1 LВАС=LВ 1 А 1 С 1 ( ПО УСЛОВИЮ) ВАС=LВ 2 А 1 С 2 (2) Б) АС=А 1 С 1 (ПО УСЛОВИЮ) АС=А 1 С 2 (2) => LВ 1 А 1 С 1 = LВ 2 А 1 С 2 Вершина С 2 совпадет с С 1 В) ЗНАЧИТ А 1 В 1 С 1 = АВС. В2В2 С2С2 ИТАК, А 1 В 1 С 1 СОВПАДАЕТ С А 1 В 2 С 2 (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ) ЕСЛИ СТОРОНА И ПРИЛЕЖАЩИЕ К НЕЙ УГЛЫОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ) ЕСЛИ СТОРОНА И ПРИЛЕЖАЩИЕ К НЕЙ УГЛЫОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

ДАНО: А ВСи А 1 В 1 С 1 АB=А 1 B 1 L А= L А 1 L B=LB 1 ДОКАЗАТЬ: А ВС= А 1 В 1 С 1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1. С АВ С 1 А 1 В 1 ПУСТЬ у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 А B =А 1 B 1 LА=LА 1 L B=LB 1 ДОКАЖЕМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ 2.2. ПУСТЬ А 1 В 2 С 2 = АВС, с вершиной В 2 на луче А 1 В 1 и вершиной С 2 в той же полуплоскости относительно прямой А 1 В 1, где лежит вершина С 1 А) т.к.А 1 В 2 =А 1 В 1 Вершина В 2 СОВПАДЕТ С В 1 Б) т.к. LВ 1 А 1 С 2 =LВ 1 А 1 С 1 LА 1 В 1 С 2 =LА 1 В 1 С 1 Луч А 1 С 2 совпадет с лучем А 1 С 1 Луч В 1 С 2 = совпадет с лучем В 1 С 1 Вершина С 2 совпадет с С 1 =>=> ИТАК, А 1 В 1 С 1 СОВПАДАЕТ С А 1 В 2 С 2 ЗНАЧИТ А 1 В 1 С 1 = АВС. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА) В2В2 С2С2

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО ТРЕМ СТОРОНАМ ) ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ТРЕМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ПРИЗНАК ПО ТРЕМ СТОРОНАМ ) ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ТРЕМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

ДАНО: А ВСи А 1 В 1 С 1 АB=А 1 B 1 BC=B 1 C 1 CА=C 1 А 1 ДОКАЗАТЬ: А ВС= А 1 В 1 С ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1. С А В С 1 А 1 В 1 ПУСТЬ А 1 В 1 С 2 = АВС, у которого вершина С 2 лежит в той же полуплоскости где и вершина С 1 относительно прямой А 1 В 1 ДОПУСТИМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ.ТОГДА L С L С 1 LА LА 1 L B LB 1 ИНАЧЕ ОНИ БЫЛИ БЫ РАВНЫ ПО ПЕРВОМУ ПРИЗНАКУ С2С2 Но через точку D прямой С 1 С 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. ПУСТЬ D – середина отрезка С1С2. D Треугольники А 1 С 1 С 2 и В1С1С2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А 1 D и В 1 D являются высотами. Значит прямые А 1 D и В 1 D перпендикулярны прямой С 1 С 2. Прямые А 1 D и В 1 D не совпадают, так как точки А 1, В 1, D не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1*. В треугольниках ABC и DEF [ABD и MPQ] сторона AB [AD] равна DE [MQ], сторона BC [BD] равна EF [PQ], угол C [D] равен углу F [Q]. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники равны? 2*. В треугольниках KLM и FPQ [ABC и KLM] сторона KL [AB] равна FP [KL], сторона KM [BC] равна FQ [LM], угол K [A] равен углу F [K]. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники равны?

4. В треугольниках МРК и АОВ сторона МР равна АО, сторона МК равна АВ. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? [Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников – это признак равенства по…» ] 3. В треугольниках KNO и PQT [ABC и DEF] равные стороны KN [AB] и PQ [DE] и углы K[A] и P [D]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку?

6. Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [ В треугольниках PQR и CST сторона PR равна CT, сторона QR равна ST. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? ] 5. В треугольниках АВС и DEF стороны АВ и ВС [MPQ и KLT стороны MP и PQ] равны соответственно сторонам DE и EF [KL и LT]. Треугольники эти не равны. Что можно сказать об углах В и Е[ P и L]?

7. У треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 равны стороны АС и А 1 С 1 и углы А и А 1. Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании первого признака равенства? [У треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 равны стороны ВС и В 1 С 1 и углы С и С 1. Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании первого признака равенства треугольников? ]

8. Докажите равенство треугольников АВС и СМК [ ВМК ].

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1*. В треугольниках АВС и DEF [ABC и MNQ] сторона AB равна DE [MP], углы A и B равны соответственно углам D и F [M и P]. Равны ли эти треугольники по второму признаку треугольников? 2. В треугольниках KMN и PQT [ABC и KLM] сторона NM [AB] и N [A] и M [B] равны соответственно стороне PQ [KL] и углам P [K] и Q[M]. Равны ли эти треугольники по второму признаку?

3. В треугольниках KNM и PQT [ABC и DEF] сторона [углы] KN [A и C] равна [равны] стороне PQ [соответственно углам D и F ]. Угол N = углу Q. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по второму признаку? 4. В треугольниках MQP и LKT [BCD и MPK] углы [сторона] M и Q [CD] равны [равна] соответственно углам [стороне] L и T [PK,угол D= углу K]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по второму признаку?

5. В треугольниках BCD и MPQ [MPQ и KLT] углы B [M] и D [Q] равны соответственно углам M [K] и Q [T]. Треугольники эти не равны. Что от сюда следует в соответствии со вторым признаком треугольников? 6. Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [сколько условий должно выполняться, чтобы треугольники CDE и XYZ оказались равными по определению равных треугольников; сколько – для равенства по первому признаку; сколько - для равенства по второму признаку?]

7. У треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 равны стороны ВС и В 1 С 1 и углы С и С 1. Равенство каких еще сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства? [У треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 равны стороны АС и А 1 С 1 и углы А и А 1. равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства треугольников?] 8. Сколько условий должно выполниться, чтобы треугольники АВС и MPQ оказались равными по определению равных треугольников; сколько – для равенства по первому признаку; сколько - для равенства по второму признаку? [Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников – это признак равенства по…»]

9. Докажите равенство треугольников АВС и СМК [ ВМК ].

10. Можно ли воспользоваться для установления равенства треугольников одним из известных вам признаков?

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. Стороны одного треугольника равны 30см, 40см и 0,5м, а другого – 30см, 40см и 5дм. Равны ли эти треугольники? [ В треугольнике АВС стороны 20см, 30см и 0,4дм, а в треугольнике ЕМК стороны равны 20см, 30см и 0,4м. Равны ли эти треугольники?] 2. В треугольниках ВОС и МАЕ равны стороны ВО и МА, ОС и АЕ.[В треугольниках АСМ и ВЕК стороны АС и СМ равны соответственно сторонам ВЕ и ЕК.] Обязательно ли эти треугольники равны?

3. Сколько равных пар сторон надо найти, доказывая равенство двух треугольников: А) по определению Б) по первому признаку В) по второму признаку Г) по третьему признаку [ Закончите предложение: «третий признак равенства треугольников – это признак равенства по …».] 4. В треугольниках АВС и PОT [МКE] стороны АВ и ВC равны соответственно сторонам РО и ОТ [MK и KE]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по третьему признаку?

5. Закончите предложение: «Третий признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [сколько пар равных углов надо найти, доказывая равенство двух треугольников: А) по первому признаку Б) по второму признаку В) по третьему признаку? 6. В неравных треугольниках АВС и МЕК стороны АВ и ВС равны соответственно сторонам МЕ и ЕК. Может ли сторона АС быть равной стороне МК? [Стороны треугольника ВСМ равны 6см, 8см и 10см, а две стороны треугольника КОА равны 10см и 6см. Что можно сказать о третей стороне этого треугольника, если известно, что треугольники не равны? ]

7. Докажите равенство треугольников АВС и АСМ [ АМК и АВК ].

8. Докажите равенство треугольников АВС и АМК [ ЕСМ и КСМ ].

9. Докажите равенство треугольников СОВ и СМО [ОМА и ОРС].

Равенство треугольников. Медиана, высота и биссектриса треугольника. Вариант 1Вариант 2

Равенство треугольников. Медиана, высота и биссектриса треугольника. Вариант 1 1. Известно,что BD – медиана ABC, DE = DB и что AB = 5,8 см, BC = 7,4 см, AC = 9 см. Найдите CE. а) 3,7 см; б) 5,8 см; в) 7,4 см; г) 4,5 см; 2.OM и ON – высоты AOB и COD, причем OM = ON. Найдите CD, если AO = 6,5 см, AM = 4,2 см и DN = 5,6 см. а) 2,3 см; б) 12,1 см; в) 10 см; г) 9,8 см.

Какое из высказываний верное? 3. Дано: MPC = DAB, MP = 12 см, CP = 8 см, LA = 73 0 а) DB = 8см, АВ = 12 см; б) LM = 73 0 АВ = 8 см; в) AD = 12см, LP = 73 0 г) AB = 12 см, LP = АВС = А 1 В 1 С 1. Периметр АВС =39 см. Сторона А 1 В 1 А 1 В 1 С 1 в 1,5 раза меньше стороны В 1 С 1, а А 1 С 1 на 3 см меньше стороны А 1 В 1. Найдите большую сторону АВС. а) 15 см; б) 16 см; в) 18 см; г) 19 см.

5. В треугольник МРК и BDE проведены две биссектрисы РС и DN; треугольник МРС равен треугольнику BDN. Найдите отрезок NE, если МК =8см, а BN < NE на 2,4 см. а) 2,8 см; б) 5,2 см; в) 5,6 см; г) 2,6см. 6. прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек А и В в разные полуплоскости проведены равные отрезки AD и BC, причем угол BAD равен углу ABC. Какие из высказываний верные: 1) CAD = BDA; 3) BAD = BAC; 2) LDBA = LCAB; 4) ADB = BCA? а) 2;4; б) 2;3;4; в) 1;4; г) 1;2;3;4.

7. Сколько пар равных треугольников на рисунке? а) 1; б) 2; в) 3; г) На какое наибольшее число равных треугольников может разделить прямоугольник ломаная, состоящая из трех звеньев? а) 2; б) 3; в) 4; г) 6.

Равенство треугольников. Медиана, высота и биссектриса треугольника. Вариант 1Вариант 2

1. Известно,что AO – медиана ABC, AO =OK и что AB =6,3см, BC=6,5см, AC=6,7см.Найдите CK. а) 6,4см; б) 6,7см; в) 6,5см; г) 6,3см;

2. OH и ON – высоты углов треугольников MOK и EOF, причем OH = ON. Найдите длину отрезка MK, если EN = 7,8 см, OE = 8,6 см и HM = 6,3 см. а) 13,9 см; б) 14,1 см; в) 14,9 см; г) 16,4 см.

3. Дано: ABC = DEF, LB=73 0, BC = 6,9 см, DF = 7,6 см, Какое из высказываний верное? а) DE = 6,9 см, АC = 7,6 см; б) E = 730 АC = 7,6 см; в) DF = 6,9см, E = 730; г) AC = 7,6 см, D = Треугольник СDE равен треугольнику C 1 D 1 E 1. Периметр треугольника СDE равен 76 см. Сторона C 1 D 1 в 2,5 раза меньше стороны D 1 E 1, а C 1 E 1 на 8 см меньше стороны D 1 E 1. Найдите большую сторону треугольника СDE. а) 30 см; б) 28 см; в) 35 см; г) 28 см.

5. В треугольник ABC и KPM проведены две биссектрисы BO и PE; треугольник ABO равен треугольнику KPE. Найдите отрезок EM, если AC = 9 см, а EM < KE на 3,8 см. а) 6,4 см; б) 5,4 см; в) 2,6 см; г) 4,8 см. 6. прямая MK разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек M и K в разные полуплоскости проведены равные отрезки MA и KB, причем угол AMK равен углу BKM. Какие из высказываний верные: 1) AMB = AKB; 3) MKA = KMB; 2) LAKM = LBMK; 4) LAMB = LKBM? а) 1; 3; 4; б) 1;2;4; в) 1;3; г) 2;3;

7. Сколько пар равных треугольников на рисунке? а) 2; б) 6; в) 8; г) На какое наибольшее число равных треугольников может разделить прямоугольник ломаная, состоящая из трех звеньев? а) 2; б) 4; в) 3; г) 6.

Задание Вариант IБГBВБАГВ IIГББВАГВБ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ 1ВАРИАНТ 2 И ВАРИАНТ 3ВАРИАНТ 4 И

1. Докажите равенство треугольников ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

2. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ 1ВАРИАНТ 2 И ВАРИАНТ 3ВАРИАНТ 4 И

ВАРИАНТ 3 1. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке ВАРИАНТ 4

2. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке ВАРИАНТ 3ВАРИАНТ 4