12 класс экстернат

Корень п – ой степени.

Определение квадратного корня из числа а Это такое число, квадрат которого равен а Обозначение:

Определение корня п – ой степени Корнем п – ой степени из числа а называется такое число, п – я степень которого равна а Обозначение:

Пример Вычислить:

Определение Арифметическим корнем п – ой степени из числа а называют неотрицательное число,п – я степень которого равна а

Вывод 1. При четном п существуют два корня п – ой степени из любого положительного числа а 2. Корень п – ой степени из числа 0 равен 0 3. Корней четной степени из отрицательных чисел не существует 4. При нечетном п существует корень п – ой степени из любого числа а, и притом только один

Основные свойства корней Для любого натурального п, целого k и любых неотрицательных чисел а и b

Пример Найдите значение выражения:

Иррациональные уравнения Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными

Пример Решите уравнения:

Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными. Решим систему уравнений

Степень с целым показателем Выражение определено для всех а и п, кроме случая а = 0 при п 0

Свойства степеней с целым показателем Для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n

Определение Степенью числа а > 0 с рациональным показателем, где m – целое число, а n – натуральное ( n > 1), называется число

Пример Вычислите:

Определение Функция, заданная формулой (где а > 0, а 0), называется показательной функцией с основанием а

Свойства 1. Область определения – множества R действительных чисел 2. Область значений R + всех положительных действительных чисел 3. При а > 0 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 < а < 1 функция убывает на множестве R

Пример На каком из рисунков изображен график функции ? x y x y x y x y

Определение Уравнение, содержащее переменную в показатели степени, называется показательным

Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение (где а > 0, а 0) Если b < 0 или b = 0, то уравнение не имеет решений

Решение уравнения (где а > 0, а 0) равносильно f(x) = g(x)

Пример

Решение показательных неравенств при а > 1 при 0 < а < 1

Пример Решите неравенства:

Системы уравнений, содержащие показательные уравнения Решите систему уравнений:

Вспомним Уравнение где а > 0 и а 1 Это уравнение не имеет решений при b 0 и имеет единственный корень в случае b > 0 Этот корень называют логарифмом

Определение Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b и обозначается

Формула где (b > 0, a > 0, a 1) называют основным логарифмическим тождеством

Пример

Основные свойства логарифмов При любом a > 0, a 1 и положительных х и у, для любого р

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Пример Найдите значение выражений:

Определение Функцию, заданную формулой, называют логарифмической функцией с основанием а

Основные свойства логарифмической функции Область определения – множество всех положительных чисел Область значений – множество всех действительных чисел

Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при а > 0 или убывает при 0 < а < 1

Пример Найти область определения функции

Определение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим

Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических неравенств

Пример Решите уравнения: