«Текстовые задачи по математике», 9 класс. Дистанционный курс

1. 1. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12 км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске со скоростью 15 км/ч. Путь от поселка до озера у него занял 1 час, а обратный путь – 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера. 12 км/ч 8 км/ч 15 км/ч 1ч 1ч 46мин

1. 1. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12 км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске со скоростью 15 км/ч. Путь от поселка до озера у него занял 1 час, а обратный путь – 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера. 12 км/ч 8 км/ч 15 км/ч 1ч 1ч 1 участок 2 участок y х S,S,S,S,кмv,км/ч 12 8 t,t,t,t,ч х 12 у 8 Путь от поселка до озера у х 1ч 1ч 2 участок 1 участок х у S,S,S,S,кмv,км/ч t,t,t,t,ч у 15 х 12 Путь от озера до поселка 1 участок 2 участок 46мин 46мин Составьте и решите систему уравнений самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

у =2,9 + + =2,9 х 4 z 5 3ч 6мин Дорога из А в В длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход на путь от А до В затратил 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу – 3 ч 6 мин. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на равнине – 4 км/ч, а под гору – 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть пути, которая идет по равнине? 3 км/ч 5 км/ч 4 км/ч 1 участок 2 участок 3 участок х у z 2ч 54мин А 3 км/ч 5 км/ч Искомый 2 участок 1 участок Путь из А в В 3 участок х у S,S,S,S,км zv,км/ч t,t,t,t,ч у 3 х 4 z 5 Искомый 2 участок 3 участок Путь из В в А 1 участок х z S,S,S,S,км yv,км/ч t,t,t,t,ч z 3 х 4 y 5 x+у+z=11,5 у =3,1 + + =3,1 х 4 z 3 В

у =2,9 + + =2,9 х 4 z 5 x+у+z=11,5 у =3,1 + + =3,1 х 4 z 3 + 8у 8у =6 + + =6 х 2 8z 8z 8z 8z у+15х+16z=180 у =3,1 + + =3,1 х 4 z x+у+z=11,5 у =3,1 + + =3,1 х 4 z 3 x+у+z=11,5 у+z=11,5–х 16(у+z)+15х=180 у =3,1 + + =3,1 х 4 z 3 11,5–х 16(11,5–х)+15х=180 у =3,1 + + =3,1 х 4 z 3 у+z=11,5–х х= 4 – х= – 4 Значения у и z можно не вычислять, т.к. в задаче требуется найти только длину горизонтального участка. Ответ: длина горизонтального участка 4 км. 184–16х+15х=180

3. 3. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин?6 1 Мы привыкли, что скорость в задачах измеряется в км/ч, м/с или м/мин. Но часто в задаче путь неизвестен, но известно за какое время он пройден. Весь путь можно рассмотреть как 1 часть, тогда единицы скорости: часть/ч или часть/мин… Рассмотрим примеры таких задач часть 2 1 х часть/мин 4х часть/мин х+ часть/мин 16

v,часть/минS,часть t,t,t,t,мин На 1 мин >> 1 автомобиль 2 автомобиль мотоциклист х4хх х 1 х х В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? х часть/мин 4х часть/мин х+ часть/мин 1 6 Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость t = S v 14х на 1 мин >> = 1 –1х+ 1 6

Используем формулу для вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом D/4 = k 2 – ac D/4 = k 2 – ac – k D/4 – k D/4 + – x = a 2 3 3х – = 4х 2 + х х – 1 = 24х 2 + 4х 24х 2 – 14х +1 = 0 D/4 = (-7) 2 – 24 = 25 а = 24, k = -7, c = 1 Перейдем к целым числам v,часть/минS,часть t,t,t,t,мин 1 автомобиль 2 автомобиль мотоциклист х 4х х х 1 х х 1 4х – = 1 1х+ 1 6 ОДЗ: х 0, х –16 4х(х+ ) 1 6 4х – (х+ ) = 4х(х+ ) х – х – = 4х 2 + х 16 х = = 7 5 +– х1 =х1 =х1 =х1 = х2 =х2 =х2 =х2 = 1 2, t мот = 1 : = 12 (мин), не уд. усл , t мот = 1 : = 2 (мин) = + = 1612 (часть/мин)23 Ответим на вопрос задачи: какую часть дистанции в минуту проходил 2 автомобиль х+16 Ответ: части дистанции в минуту проходил 2 автомобиль.23 «мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин» Проверим, оба ли корня удовлетворяют условию задачи, может среди них есть посторонний корень? Найдем время мотоциклиста…

t,t,t,t,мин 1 автомобиль 2 автомобиль мотоциклист 4х х х+1S,часть На часть/мин >> В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на дистанции больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? х мин х мин х+1 мин 1v,часть/мин 1 4х х+1 1 х 2 способ Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Поэтому времени на всю дистанцию потратит в 4 раза больше, т. е. 4х В конце решения необходимо будет проверить корни. Время мотоциклиста 4х должно быть меньше 10.

4. 4. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг? Пусть полный круг – 1 часть.

60х На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг? Пусть полный круг – 1 часть. х х+311 t,t,t,t,мин 1 лыжник 2 лыжник S, часть v, часть/мин 1х+3 1 х 60 S1=S1=S1=S1= S2 =S2 =S2 =S2 = х60 х+3 х На 1 круг (1 часть) (1 часть) >> Найдем расстояние, которое пройдут S = vt лыжники за по формуле S = vt – = 1 1 час 60 мин Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

х+5 60х По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 с. Пусть полный оборот – 1 часть. х х+511 t,t,t,t,с 1 точка 2 точка S, часть v, часть/с 1х+5 1 х 60 S1=S1=S1=S1= S2 =S2 =S2 =S2 = х60 х На 2 оборота (2 части) (2 части) >> Найдем расстояние, которое пройдут S = vt точки за по формуле S = vt – = 1 1 мин 60 с Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

2 случай По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 с.60х+5 х60 – = 1 Подсказки. х Решив уравнение вы еще не получите ответ на вопрос задачи. За х мы обозначили время, за которое пройдет 1-я точка полный круг. Еще придется найти скорость, причем скорость будет в необычных единицах – часть/с. Часть от полного круга, а полный круг Еще подсказка: в условии задачи не указано как именно двигались точки. Значит, они могли двигаться в одном направлении, а может и в противоположных, т.е. задача будет иметь два решения. 1 случай

6. 6. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый спортсмен? Пусть полный круг – 1 часть. Нетрудно заметить, чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше! Чтобы сойтись во второй раз первому спортсмену надо пробежать на 2 круга больше. Третий раз 1 спортсмен догонит соперника, если пробежит на 3 круга больше. И т.д.

Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый спортсмен? Пусть полный круг – 1 часть. х х спортсмен 2 спортсмен t,t,t,t,с S, часть v, часть/с 1х+10 1 х 720 S1=S1=S1=S1= S2 =S2 =S2 =S2 = 1 720х На 1 круг На 1 круг (1 часть) (1 часть) >> Найдем расстояние, которое пробегут S = vt спортсмены за 720с по формуле S = vt – = 1 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи. Чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше! х х+10 х+10

Задачи для самостоятельной работы. 1. От почты А до поселка В надо пройти 9 км. Почтальон проходит путь туда и обратно, не задерживаясь в поселке, за 3 ч 41 мин. Дорога из А в В идет сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту, если в гору почтальон идет со скоростью 4 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а под гору 6 км/ч? Дорога от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом ее длина равна 9 км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до станции занимает у него 1 ч 50 мин, а обратный путь занимает 1 ч 55 мин. Определите длину подъема на пути к станции и скорости пешехода на подъеме и спуске.3. На тренировке по картингу один карт проходил круг на 10 сек медленнее другого и через минуту отстал от него ровно на круг. За сколько секунд каждый карт проходил круг?

Форма для поверки ответов. max 15 Задача 1. Задача 4. Задача 5. Задача 1. Задача 2. Уравнения Задачи для самостоятельной работы км км/ч, 2 лыжник (0)(0) км км/ч, скорость на спуске км/ч 1 лыжник Если точки движутся в одном направлении Если точки движутся в противоположных направлениях (0)(0) км, Длина подъема Задача 3. с с, 2 спортсмен 1 спортсмен Задача 6. часть/с, 2 спортсмен 1 спортсмен часть/с скорость на подъеме км/ч