Журнал «Математика» 10/2012 И. Ширстова, г. Москва

Журнал «Математика» 10/2012 Задача. В прямоугольном параллелепипеде A…D 1 AA 1 = 2а, AB = 2а, AD = 4а, N [CC 1 ), CN : CC 1 = 3 : 2. На луче AB взята точка K так, что KA : AB = 4 : Построить сечение параллелепипеда плоскостью KDN и найти площадь сечения. 2. Построить угол между плоскостями KDN и АВС и найти величину этого угла.

Журнал «Математика» 10/2012 Решение. 1. Построим сечение: (DCC 1 ): (ND) [D 1 C 1 ] = T; (ABC): (KD) [BC] = E; (BB 1 C): (EN) [B 1 C 1 ] = P. PTDE искомое сечение. 2. Построим угол между плоскостями KDN и АВС: (KDN) (АВС) = (KD). Построим (CM) (KD). По теореме о трех перпендикулярах (NM) (KD); NMC угол между плоскостями KDN и АВС.

Журнал «Математика» 10/ Определим положение некоторых точек, для этого рассмотрим выносные чертежи. Δ KBE ~ Δ CDE по двум углам; BE = a, EC = 3a. C 1 N = a; Δ NTC 1 ~ Δ DNC по двум углам;

Журнал «Математика» 10/ Найдем площадь сечения и угол между плоскостями KDN и АВС. 1-й способ. 1. ΔECD: 2. ΔMNC: NMC = φ,

Журнал «Математика» 10/ ΔECD проекция ΔEND на плоскость АВС; по теореме о площади ортогональной проекции

Журнал «Математика» 10/ ΔPNT ~ ΔEND по двум углам; Ответ:

Журнал «Математика» 10/ й способ. Введем декартову систему координат: D(0; 0; 0), направим координатные оси x, y, z по ребрам DA, DC, DD 1 соответственно. Тогда точки будут иметь следующие координаты: E(3a; 2a; 0), N(0; 2a; 3a). Угол между плоскостями KDN и АВС можно найти, используя следующую теорему: «Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям». Координатный вектор является вектором нормали к плоскости АВС.

Журнал «Математика» 10/2012 Найдем вектор нормали к плоскости сечения: Воспользуемся скалярным произведением векторов: векторудовлетворяет системе.

Журнал «Математика» 10/2012 По определению скалярного произведения векторов имеем: Площадь сечения можно искать, как в 1-м способе.

Журнал «Математика» 10/ й способ. Вектор нормали к плоскости сечения можно найти, используя уравнение плоскости, проходящей через точки E, N и D. 4-й способ. Площадь сечения можно найти, вычислив непосредственно длины оснований и высоту трапеции, лежащей в сечении. Для нахождения угла между плоскостями KDN и АВС можно воспользоваться теоремой о площади ортогональной проекции