Алгебра и начала анализа Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 –

Требования к зачету: Конспекты Выучить нужные формулы!!! Решение задач по теме Контрольная работа

Повторение

Действия с дробями

Формулы сокращенного умножения a 2b 2 = (a +b)(a b) (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадратные уравнения Дискриминант: Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам: Если D = 0, то кв. ур-е имеет единственный корень. Если D < 0, то действительных корней нет.

Свойства степеней a n · a k = a n + k a n : a k = a n – k ( a n ) k = a n k a n · b n = ( ab ) n b n a n =(ba) n a 0 = 1

Теорема Пифагора : Синус. Косинус. Тангенс. Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Тригонометрические функции числового аргумента 10 класс

Радианная мера Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности

Радианная и градусная меры связаны зависимостью:

Пример Выразить в радианной мере величины углов: Выразить в градусной мере величины углов:

0 π2π2 π 3π 2 0 R=1 A B 2π2π C К М N Д F ° 180° 270° 360°

Определения Синусом числа х называется ордината точки А, косинусом числа х называется абсцисса точки А, которая получена поворотом начальной точки единичной окружности на угол х. Тангенсом числа х называется отношение синуса числа х к косинусу числа х, котангенсом числа х называется отношение косинуса числа х к синусу числа х.

Основные тригонометрические функции

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и котангенса

Пример Упростите выражения: Найдите sinβ, если cosβ = -0,6 и Найдите значение выражения,если, π < β < < х < 2 π

Формулы сложения

Пример Упростите выражения:

Формулы приведения sin α cos α tg α ctg α

Пример Найдите значение выражения, если Вычислите:

Формулы суммы и разности синусов (косинусов)

Пример Докажите тождество:

Формулы двойного аргумента

Формула половинного аргумента

Пример Вычислите значение выражения: Вычислите:

x -x y -y 1 1

x -x 1 1 y

x -х-х 1 1 у -у tgx

x -х-х 1 1 y -y

Пример Найдите множество значений функций

Преобразование графиков Рассмотрим функцию у = f(х)

Параллельный перенос вдоль оси Оу f(x) + m=y если m > 0, то вверх если m < 0, то вниз

Параллельный перенос вдоль оси Ох y = f(x + m) если m > 0, то влево если m < 0, то вправо

Симметрия относительно оси Ох y = - f(x)

Симметрия относительно оси Оy y = f(- x)

Растяжение или сжатие вдоль оси Оу у = а· f(х) если а > 0, то растяжение если 0 < а < 1, сжатие если а = - 1, то симметрия относительно Ох если а < - 1, то растяжение если -1 < а < 0, то сжатие

Растяжение или сжатие вдоль оси Ох у = f(а· х) если а > 1, сжатие если 0 < а < 1, то растяжение

Пример Построить график функции у = 1 + 2sin x

Построение

Четная функция Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(- x) = f(x)

Нечетная функция Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(- x) = - f(x)

Свойства четных и нечетных функций 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Пример Укажите график функции, не обладающей свойством четности или нечетности y x y = f (x) y x y x y x y = f (x)

Периодичность Функция f называется периодической с периодом Т 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х – Т и х + Т равны, т.е. f(x +T) = f(x) = f(х – Т).

Определение Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких что х 2 > х 1, выполнено неравенство f(х 2 ) > f(х 1 )

Определение Функция f убывает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких что х 2 > х 1, выполнено неравенство f(х 2 ) < f(х 1 )

Пример Укажите график функции, убывающей на отрезке y x y = f (x) y x y x x y

Окрестностью точки а называют любой интервал, содержащий эту точку

Пример Интервал (2; 6) – одна из окрестностей точки 3

Определение Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство

Определение Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство

Для точек максимума и минимума функции принято общее название – точки экстремума

Схема исследования функций 1. Найти область определения и значения данной функции 2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т.е. является ли функция: а) четной или нечетной; б) периодической 3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат 4. Найти промежутки знакопостоянства функции 5. выяснить, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает 6. Найти точки экстремума, вид экстремума (max или min) и вычислить значения функции в этих точках 7. Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента

Асимптоты ВертикальныеГоризонтальные

ctgx

Пример Найдите:

Решение уравнения cos x=a Частные случаи:

Пример Решить уравнение:

Решение уравнения sin x=a Частные случаи:

Пример Решить уравнение:

Решение уравнения tg x=a

Пример Решить уравнение:

0