1 Фадеев С.И. Лекции по спец. курсу Нелинейные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке.

2 Нелинейные эффекты, моделируемые нелинейными краевыми задачами ВВЕДЕНИЕ

3 ТЕМА 1. Формулировки нелинейных краевых задач. О проблемах их численного анализа

4 Формулировка нелинейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

5 Формулировка нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения высокого порядка

6 Исследование нелинейной краевой задачи как вычислительный эксперимент

7 О численных методах исследования краевых задач

8 Геометрическая интерпретация решения краевой задачи в зависимости от параметра Формулировка краевой задачи с параметром q. Система уравнений: 0

9 Исследование предельных циклов как краевая задача

10 ТЕМА 2. Иллюстрации нелинейных эффектов на примерах, имеющих точное решение.

11 1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОКОЕ РЕЛЕ Простейшая модель Уравнение движения: Обозначения:

12 Уравнение движения

13 Множественность стационарных решений

14 Устойчивость стационарных решений

15 Параметры гистерезиса

16 Диаграмма стационарных решений При q 1/3). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = 1/3). При q > qMAX стационарные решения не существуют.

17 2. МОДЕЛЬ ПЛЕНОЧНОГО ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО РЕЛЕ

18 Формулы точного решения краевой задачи

19 Графики решений краевой задачи в зависимости от параметра Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).

20 Диаграмма стационарных решений. При q.3883). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y =.3883). При q > qMAX стационарные решения не существуют. График зависимости q = q(y0), y0 = y(0).

21 Устойчивость стационарных решений. Физическая интерпретация диаграммы.

22 3. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Плоский сосуд

23 Графики решений краевой задачи в зависимости от параметра Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).

24 Диаграмма стационарных решений Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.

25 Физическая интерпретация диаграммы стационарных решений

26 4. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Цилиндрический сосуд

27 Графики решений краевой задачи в зависимости от параметра Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).

28 Диаграмма стационарных решений Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.

29 5. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Модифицированная постановка задачи

30 Диаграмма стационарных решений Множественность стационарных решений в областях изменения параметра q, границы которых определяются значениями q в точках поворота, где q =.877 и q = : при 0 < q – 1 решение. Три стационарных решения при q=1. На рисунке y0 = y(0).

31 Гистерезис и устойчивость Устойчивость стационарных решений при движении с ростом y0 по диаграмме: 0 < q < 1.162, 0 < y0 < > q >.877, < y0 < асимптотичекая устойчивость; неустойчивость; q >.877, y0 > асимптотическая устойчивость. Значения q в точках поворота являются параметрами гистерезиса.

32 Описание параметров гистерезиса.

33 Линейные краевые задачи РАЗДЕЛ 1

34 ТЕМА 1. Существование и единственность решения линейной краевой задачи. Интегральное представление решения.

35 Существование и единственность решения.

36 Интегральное представление решения *)Заметим, что разрешимость краевой задачи не зависит от выбора Ф.М.Р.

37 Матричные функции Грина

38 Матричные функции Грина (продолжение)

39 ТЕМА 2. Частные случаи задания краевых условий

40 1.Задача Коши как частный случай краевой задачи.

41 2. Разделенные краевые условия

42 Краевые условия периодичности

43 Краевые условия периодичности (продолжение 1)

44 Краевые условия периодичности (продолжение 2)

45 ТЕМА 3. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения высокого порядка

46 Эквивалентные формулировки краевой задачи

47 Эквивалентные формулировки краевой задачи (продолжение)

48 Условия, определяющие функции Грина.

49 Условия, определяющие функции Грина. (продолжение 1)

50 Условия, определяющие функции Грина. (продолжение 2) Замечание. Рассмотрение частных случаев задания краевых условий (14) по аналогии с Темой 2 предоставляется читателю.

51 Функция Грина и примеры представления нелинейной краевой задачи в виде нелинейного интегрального уравнения. ТЕМА 4.

52 Формулировка нелинейного интегрального уравнения.

53 Пример1. Нелинейное интегральное уравнение модели пленочного электростатического реле

54 Пример 2. Нелинейное интегральное уравнение модели теплового взрыва.

55 Пример 3. Нелинейное интегральное уравнение модели пленочного электростатического реле с учетом жесткости подвижного электрода.

56 Непрерывная зависимость решения краевой задачи ТЕМА 5.

57 Теорема 1. О разрешимости возмущенной краевой задачи.

58 Непрерывная зависимость решения краевой задачи.Доказательство Теоремы 1(продолжение 1) Доказательство Теоремы 1 (продолжение 1).

59 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 2).

60 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 3).

61 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 4).

62 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 5).

63 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 6).

64 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 7).

65 Доказательство Теоремы 1 (продолжение 8).

66 Теорема 2 О непрерывной зависимости решения краевой задачи

67 Доказательство Теоремы 2 (завершение)

68 Численные методы решения краевых задач РАЗДЕЛ 2

69 О численном решении линейных краевых задач. ТЕМА 1.

70 Метод «стрельбы».

71 Метод «стрельбы» (продолжение).

72 Метод «стрельбы». Пример «сплющивания» базисных решений.

73 Метод «стрельбы». Пример «сплющивания» базисных решений (продолжение).

74 Метод «множественной стрельбы» (метод ортогональных прогонок).

75 Метод «множественной стрельбы» Прямой ход прогонки

76 Метод «множественной стрельбы» Обратный ход прогонки

77 ТЕМА 2. О численном решении нелинейных краевых задач.

78 Метод Ньютона (метод квазилинеаризации). Хорошая обусловленность нелинейной краевой задачи.

79 Хорошая обусловленность нелинейной краевой задачи(продолжение)

80 Понятие ОМЕГА-окрестности решения.

81 Теорема о сходимости метода Ньютона

82 Доказательство Теоремы о сходимости

83 Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 1)

84 Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 2)

85 Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 3)

86 Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 4)

87 ТЕМА 3. Метод множественной стрельбы для численного решения нелинейной краевой задачи.

88 Метод стрельбы

89 Метод множественной стрельбы

90 Метод множественной стрельбы (продолжение 1)

91 Метод множественной стрельбы (продолжение 2)

92 ТЕМА 4. Метод Ньютона для численного решения систем нелинейных уравнений

93 Теорема о сходимости метода Ньютона для численного решения систем нелинейных уравнений

94 Доказательство леммы

95 Доказательство теоремы Изложение метода Ньютона для решениия систем нелинейных уравнений замыкает описание метода множественной стрельбы для решения нелинейной краевой залачи

96 Замечание к методу Ньютона

97 Численное исследование систем нелинейных уравнений Метод продолжения решения по параметру РАЗДЕЛ 3

98 Общее положение

99 ТЕМА 1. Метод продолжения по параметру, основанный на параметризации.

100 Теорема о неявной функции

101 Равноправие аргументов

102 Решение системы нелинейных уравнений как задача Коши

103 Решение системы нелинейных уравнений как задача Коши (продолжение)

104 Пример пространственной кривой S, определяемой из системы 2-х уравнений с параметром q Система уравнений : 3x1 – x2 - 4 = 0 4sin(x1-2)-q+10 = 0 где q – параметр, 6

105 Параметризация

106 Параметризация (продолжение)

107 Задание начального приближения

108 Адаптация шага по текущему параметру

109 Завершение процесса продолжения по параметру

110 Пример применения метода продолжения по параметру Графики компонент системы Система уравнений : 3x1 – x2 - 4 = 0 4sin(x1-2)-q+10 = 0 где q – параметр, 6

111 Продолжение решения по параметру как численный эксперимент

112 ТЕМА 2. Продолжение решения системы нелинейных уравнений как задача Коши.

113 Задача Коши с использованием параметризации

114 Метод Кубичека

115 Метод Кубичека (продолжение)

116 Схема вычислений по методу Кубичека

117 Замечание к использованию задачи Коши в методе продолжения по параметру.

118 Численное исследование нелинейных краевых задач. Метод продолжения решения по параметру РАЗДЕЛ 4

119 ТЕМА 1. Продолжение решения по параметру в методе множественной cтрельбы

120 Линейная краевая задача, определяющая производную решения по параметру.

121 Система нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения нелинейной краевой задачи

122 Серия задач Коши, необходимая для организации продолжения решения по параметру

123 Серия задач Коши, необходимая для организации продолжения решения по параметру (продолжение 1).

124 Серия задач Коши, необходимая для организации продолжения решения по параметру (продолжение 2).

125 Серия задач Коши, необходимая для организации продолжения решения по параметру (продолжение 3).

126 Завершение описания алгоритма продолжения решения по параметру

127 ТЕМА 2. Дискретная модель нелинейной краевой задачи, основанная на сплайн- коллокации.

128 Определение сплайна

129 Условие коллокации

130 Дискретная модель нелинейной краевой задачи

131 Матрица производных

132 Замечания

133 ТЕМА 3. Адаптация сетки

134 Определение узлов сетки в задаче интерполяции сплайном с заданной точностью.

135 Условие определения узлов сетки в дискретной модели краевой задачи.

136 Алгоритм адаптации сетки

137 Схема определения узлов сетки при равномерном распределении погрешности

138 Определение параметров интерполяционного эрмитова сплайна 5-ой степени.

139 Завершение описания адаптации сетки.

140 Заключение

141 ТЕМА 3. Дискретнные модели нелинейных интегральных уравнений.

142 Формулировка нелинейного интегрального уравнения

143 Интерполяционный кубический сплайн

144 Определение параметров сплайна.

145 Дискретная модель интегрального уравнения

146 Вычисление коэффициентов дискретной модели

147 ТЕМА 4. Примеры численного исследования нелинейных краевых задач 1. Модель пленочного электростатического реле 2. Модель каталитического реактора 3. Осцилятор Ван дер Поля.

Модель пленочного электростатического реле.

149 Модель пленочного электростатического реле. (продолжение) Рис.1. Первое решение краевой задачи при q = 2

150 Модель пленочного электростатического реле. (продолжение) Рис.2. Второе решение краевой задачи при q = 2

151 Модель пленочного электростатического реле (продолжение) Рис.3. Диаграмма множественности решений. График зависимости y1(0) от параметра q.

Модель каталитического реактора

153 Модель каталитического реактора (продолжение) Рис.4. Первое решение краевой задачи при q = 200

154 Модель каталитического реактора (продолжение) Рис.5. Второе решение краевой задачи при q = 200

155 Модель каталитического реактора (продолжение) Рис.6. Третье решение краевой задачи при q = 200

156 Модель каталитического реактора (продолжение) Рис.7. Четвертое решение краевой задачи при q = 200

157 Модель каталитического реактора (продолжение) Рис.8. Пятое решение краевой задачи при q = 200

158 Модель каталитического реактора (продолжение) Рис.9. Диаграмма множественности решений. Грaфики зависимостей y1(1) и y3(1) от параметра q

Осцилятор Ван дер Поля

160 Осцилятор Ван дер Поля (продолжение) Рис.10. Предельный цикл при q = 5

161 Осцилятор Ван дер Поля (продолжение) Рис.11. Предельный цикл при q=15

162 Осцилятор Ван дер Поля (продолжение) Рис.12. Диаграмма множественности решений. Зависимость амплитуды колебаний и периода от параметра q

163 ЛИТЕРАТУРА

164 ЛИТЕРАТУРА