Решение логических задач (практикум) Горбатов В.В., НИУ ВШЭ, 2011

Содержание Общие требования и критерии Задачи на анализ логической формы Задачи на установление соответствия Задачи с саморекурсивными условиями Задачи на установление количественных соотношений

1. Общие требования и критерии

При решении логических задач в олимпиадах по обществознанию не требуется знание специальных логических методов и теорий Достаточно владеть базовыми аналитическими навыками и соблюдать главные принципы рационального мышления

Картезианские правила метода Правило очевидности Правило анализа Правило последовательности Правило полноты

Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений

Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями

2. Задачи на анализ логической формы

Задача 1 Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами Тем самым он выступает за свободу причесок или против?

Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок

Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)

Задача 3 В одном классе учились три девушки – Лена, Оля и Катя 1.Лена сказала: «Я самая старшая» 2.Оля сказала: «Я моложе Кати» 3.Катя сказала «Я старше Лены» 4.Все они солгали Расположите их по возрасту, от самой младшей к самой старшей

Решение 1.Лена не самая старшая (1) 2.Оля старше Кати (2) 3.Лена старше Кати (3) 4.Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3) 5.Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4) 6.Оля – самая старшая

Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен

Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен

3. Задачи на установление соответствия

Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости

Решение 1)ВХор,Отл (1,2,3) АБВ О0 Х0 Т

Решение 1)ВХор,Отл (1,2,3) 2)В=Тр АБВ О0 Х0 Т001

Решение 1)ВХор,Отл (1,2,3) 2)В=Тр 3)Б Хор (1) АБВ О0 Х00 Т001

Решение 1)ВХор,Отл (1,2,3) 2)В=Тр 3)Б Хор (1) 4)Б=Отл 5)В=Хор АБВ О010 Х00 Т001

Решение 1)ВХор,Отл (1,2,3) 2)В=Тр 3)Б Хор (1) 4)Б=Отл 5)В=Хор АБВ О010 Х100 Т001

4. Задачи с саморекурсивными условиями

Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?

Решение Что значит ответ «Тарабара?» На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет» «Тарабара» = «Нет» Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В) Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом 1-й туземец из племени правдивых (А)

Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду ). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи

Решение 1.1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины) 2.2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду) 3.3 – бог Истины; значит, ему можно верить 4.2 – бог Лжи 5.1 – бог Дипломатии 1 23 ДЛИ

Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков

Решение Допустим, что первый ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну Следовательно, первый ребенок – мальчик

Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик

Решение Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик

Решение Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно Значит, он тоже является мальчиком Ответ: все четверо - мальчики

Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?

Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками

Решение Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики. Следовательно, эти 4 тоже лгут

Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду

Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит

Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников

5. Задачи на установление количественных соотношений

Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?

Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек

Решение Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков

Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6

Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта

Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди

Решение ПрМ Л 0

Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами

Решение ПрМ Л 2

Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом

Решение ПрМ Л 4 Это соответствует условиям задачи

Решение Проверим последний случай, когда общее число логиков – 18 18:3 = 6 Значит, среди логиков 6 – математики Однако известно, что математиков всего 5 (противоречие) ОТВЕТ: логиков – 15 человек

Ответ ПрМ Л