С В наклоннаянаклонная проекцяпроекця m перпендикулярперпендикуляр Сенникова Н. В. учитель математики Учебник Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 10-11» А

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. А С В перпендикулярперпендикуляр наклоннаянаклонная проекцяпроекця прямая, проведенная через основание наклонной 1) 2) 3) АС m BС m АB m по ТТП Два перпендикуляра есть устанавливаем третий 1) Найти перпендикуляр к плоскости

Теорема обратная теоремео трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Теорема обратная теореме о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А С В перпендикулярперпендикуляр наклоннаянаклонная проекцяпроекця прямая, проведенная через основание наклонной 1) 2) 3) АС m АB m BС m по обратной ТТП Два перпендикуляра есть устанавливаем третий 1) Найти перпендикуляр к плоскости

ЗАДАЧА. Отрезок АК перпендикулярен плоскости АВС и КВ ВС. Докажите, что АВС - прямоугольный. А К В С перпендикулярперпендикуляр п р о е к ц и я н а к л о н н а я 1) 2) 3) АК (АВС) по … КВ ВС по … Вывод! АВ ВС по т. обр. ТТП АВС – прямоугольный, ч.т.д. прямая, … ТТПобр ТТП

Изобразите отрезок, длина которого равна расстоянию от т. М до выделенной прямой. Ответ обоснуйте. М D С В А Читаем чертеж! Анализируем дано! Строим расстояние! перпендикулярперпендикуляр прямая, … СМ (АВС) по … СВ АВ по … Делаем вывод! МВ АВ по ТТП ТТПобр ТТП наклоннаянаклонная п р о е к ц и я МВ – искомое расстояние

Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте. а в D А С В F ABCD – прямоугольник, FB (АВС). О ABCD – ромб, FB (АВС). 90 = 90 перпендикулярперпендикуляр наклоннаянаклонная ОВ - проекция Прямые а и в не перпендикулярны прямая, … ТТПобр ТТП

К А В С H Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте. BM и CF – медианы, AH (АВС). M F перпендикулярперпендикуляр наклоннаянаклонная прямая, … п р о е к ц и я Прямые а и в не перпендикулярны в а BM и CF – высоты, AH (АВС). К АК СВ по … НК СВ по ТТП Вывод! АН (АВС) по … 90 ТТПобр ТТП

К М С А В ЗАДАЧА. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости правильного АВС, со стороной 8 3. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если МС = 9. МК АВ по построению СК АВ по т. обр. ТТП Вывод! СМ (АВС) по … т.к. АВС – правиль- ный, то СК = … из МСК ( С = 90 ) по т. Пифагора СМ = 9 = 3 3 СК = 12 = 3 4 МК = 3 5 = 15 ТТПобр ТТП

ЗАДАЧА. К центру квадрата АВСD восстановлен перпенди- куляр ОК, равный 5. Найдите расстояние от точки К до стороны квадрата, если она равна 24. K C B O A D МК АВ по построению ОК (АВС) по … ОМ АВ по т. обр. ТТП Вывод! М 24 5 A B O М

ЗАДАЧА. Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости АВС, где С = 90, АВ = 17, АС = 8. Найдите расстояние от точки М до прямой АС, если МВ = 20. В А С М Дано: Найти: АВС, С = 90, АВ = 17, АС = 8, ВМ (АВС). Расстояние от т. М до АС. Решение: МК АС по построению ВМ (АВС) по … НО ВС АС, что … К Вывод! ВК АС по т. обр. ТТП т.К совпадает с т. С и искомое расстояние МС ЗАКОНЧИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАЧА. В АВС, АС = СВ = 10, А = 30,ВК - перпендикуляр к плоскости треугольника и равен 5 6. Найдите расстоя- ние от точки К до АС. В М К С А Куда проектируется основание перпендикуляра из т. К на прямую АС? 120 КМ АС по … ВК (АВС) по … Вывод! ВМ АС по т. обр. ТТП М С В

ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстоя- ние равное 2 3, и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции. B O A D М С K т.М проектируется в центр вписанной в трапецию окружности ОМ АD по … ОК (АВС) по … Вывод! ВМ АС по ТТП H D C 30 2r 4r OM = 2 KM = 4

ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстоя- ние равное 2 3, и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции. т.М проектируется в центр вписанной в трапецию окружности в в р е е а р а ввеерраа =

ЗАДАЧА. Отрезок СН перпендикулярен плоскости АВС, где, АВ = 21, АС = 10, ВС = 17. Найдите расстояние от точки Н до прямой АВ, если СН = 15. Изобразите перпендикуляр из точки Н к прямой АВ. А ВС Н НК АВ по … СН (АВС) по … СК АВ по ТТП К СК = ? 8 17 т.к. АВ = 21 – большая сторона, то т. К АВ, где К лежит между точками А и В

По известным сторонам треугольника найдите высоту. а с в

ЗАДАЧА. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости АВС, где, АВ = 20, АС = 15, ВС = 25. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если СМ = 8. Изобразите перпендикуляр из точки М к прямой АВ. А ВС М АС АВ по … СМ (АВС) по … АМ АВ по ТТП 17 АВС – прямоугольный по т. обр. Пифагора