Применения непрерывности 1. Непрерывность функции. Если f (x) f (x 0 ) при x x 0, то функцию называют непрерывной в точке x 0. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то её называют непрерывной на промежутке I. При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало; график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что её можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции непрерывны. Свойство непрерывных функций: Если на интервале (a; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

2. Метод интервалов На свойстве непрерывных функций основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Алгоритм решения неравенств методом интервалов: 1. Находим нули функции и область определения функции. Пример: решить неравенство 2 x x – 5x + 6 Это дробно-рациональная функция, непрерывна в каждой точке своей области определения. Обращается в нуль в точках – 1 и 1 (числитель приравнивает к нулю и решаем уравнение). Область определения – вся числовая прямая, за исключением нулей знаменателя, т.е. точек 2 и 3 (знаменатель приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение).

2. На числовой прямой изображаем полученные промежутки Определяем знак функции в каждом из интервалов. Берём любую внутреннюю точку из первого интервала (например – 10). Это значение подставляем в заданную формулу функции и находим знак функции. 2 (-10) – (-10) – 5(-10) Над первым интервалом ставим знак «+». Аналогично проверяются знаки других интервалов. 4. Выбираем те интервалы, которые соответствуют знаку неравенства. Можно записать ответ: множество решений неравенства – объединение промежутков ( - ; -1, 1;2) и (3; )