Задачи на построение. Учитель: Иванова Татьяна Сергеевна

Цель: Изучить какие задачи относятся к задачам на построение. Изучить какие задачи относятся к задачам на построение. Показать учащимся построение некоторых простейших фигур с помощью циркуля и линейки. Показать учащимся построение некоторых простейших фигур с помощью циркуля и линейки.

Что такое задачи на построение. В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопоса о отм, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигурв с требуемыми свойствами.

Какие бывают задачи на построение? Построение треугольника с данными сторонами. Построение треугольника с данными сторонами. Построение треугольника с данными сторонами. Построение треугольника с данными сторонами. Построение угла, равного данному. Построение угла, равного данному. Построение угла, равного данному. Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла. Построение биссектрисы угла. Построение биссектрисы угла. Построение биссектрисы угла. Деление отрезка пополам. Деление отрезка пополам. Деление отрезка пополам. Деление отрезка пополам. Построение перпендикулярной прямой. Построение перпендикулярной прямой. Построение перпендикулярной прямой. Построение перпендикулярной прямой.

Построение треугольника с данными сторонами. Надо: построить треугольник с данными сторонами. Дано: стороны a, b, c a b c Анализ Построение 1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В. 2. Раствором циркуля, равным c, описываем окружность с центром B и радиусом c. Пусть А – точка её пересечения с прямой. А. В a b c А В С 3. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра А. 4. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность из центра В. 5. Пусть точка С – точка пересечения этих окружностей. С. 6. Проведем отрезки ВС и АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные a, b, c.

Построение угла, равного данному. Дано: полупрямая, уголПостроение В.. С Надо: отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу. 1. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. 2. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. 3. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. 4. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В 1 5. Опишем окружность с центром В 1 и радиусом ВС. 6. Точка С 1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. 7. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ 1 С 1 равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников.. О С1С1 В1 А

Построение биссектрисы угла. Дано: угол Надо: построить его биссектрису. Построение 1. Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность любого радиуса. 2. Пусть точки В и С – точки её пересечения со сторонами угла.. В. С А 3. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. 4. Пусть D – точка пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую AD.. D 5. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими.

Деление отрезка пополам. Дано: отрезок АВ... АВ Надо: разделить отрезок пополам. Построение 1. Из точек А и В радиусом АВ описываем окружность. 2. Пусть точки С и С 1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. С С1С Отрезок СС 1 пересекает прямую АВ в некоторой точке О. Эта точка есть середина отрезка АВ.. О 4. Действительно, треугольники САС 1 и СВС 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, О – середина отрезка АВ.

Построение перпендикулярной прямой. Дано: прямая, точка О. Надо: провести перпендикуляр к прямой через точку О. 1-й случай: точка О лежит на прямой.. О 1. Из точки О любым радиусом описываем окружность. Она пересекает прямую в точках А и В. Построение.. А В 2. Из точки А и В радиусом АВ описываем окружности. Они пересекаются в точке С (выбираем одну полуплоскость).. С 3. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

2 –й случай: точка О лежит вне прямой. 1. Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую. Точки А и В – точки пересечения. Построение.О.О А.А..В.В 2. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точка О1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О..О1.О1 3. Искомая прямая проходит через точки О и О Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО 1. Треугольники АОВ и АО 1 В равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу О 1 АС. А тогда треугольники ОАС и О 1 АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО 1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС – перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую..С.С

Список литературы: Учебник «Геометрия 7 - 9», Атанасян Л.С. Москва «Просвещение» 2006г