Векторы (повторение) Учитель математики МБОУ СОШ 14 г.Яровое Алтайского края Пономарева Екатерина Викторовна

Вектором называется направленный отрезок. о А В а Векторы обозначаются: АВ, а, о Вектор о- нулевой. lol=0 Модулем вектора называется длина содержащего его отрезка. l AB l=AB Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной, либо на параллельных прямых.

а с е d Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. a d Векторы называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. а са е c d e c Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. А В С Е АВ = СЕ, если АВ СЕ, АВ = СЕ

Сложение и вычитание векторов 1.Сложение по правилу треугольника а а b b a + b 2.Сложение по правилу параллелограмма аb 3. Правило вычитания а b a + b a - b

Правило сложения нескольких векторов а а b b с с d d a + b + c + d

Умножение вектора на число а Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор Длина которого равна l k l·l l, причем векторы и cонаправлены, при k0 и противоположно направлены, при k0. а b а аb 2а2а-а-а 1/2а

Порешаем! Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Упростите выражение: C1D-DA+CD+D1A1+AB1+CC1 А ВС D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Решение: Воспользуемся свойствами сложения векторов: СС1+С1D=CD, D1A1-DA=0, Получаем: CD+CD+AB1, CD=BA, BA+AB1=BB1, CD+BB1=BA1

A BC D О К \\ Решение: АВ+АD=АС AO=1/2AC=1/2(AB+AD), AK=1/2AO=1/4(AB+AD), DK=AK-AD=1/4(AB+AD)-AD= =1/4AB+1/4AD-AD=1/4AB-3/4AD.

Координаты вектора А В Пусть А (х1;у1), В (х2;у2), АВ (х2-х1;у2-у1), Правила: 1.Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. 2.Каждая координата разности двух векторов равна разности соответ- ствующих координат этих векторов. 3.Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на число. а{х1;у1}, b{x2;y2}, a+b {x1+x2;y1+y2}, a-b {x1-x2;y1-y2}, ka {kx1;ky1} a{x1;y1} b{x2;y2}

Порешаем! 1)Коллинеарны ли векторы а{4,8,12} и в{8,16,36}? Т.к. 8/4=2,16/8=2,36/12=3, то векторы не коллинеарны. 2)Найти координаты вектора р=2а-1/3в+с, если а{1,-2,0},в{0,6,-6} и с{-2,3,1}. 2a{2;-4;0}, -1/3b {0;-2;2}, p {2+0+(-2); -4+(-2)+3; } = {0;-3;3}

Формулы в координатах. \\ А (х 1 ;у 1 ) В (х 2 ;у 2 ) О (х;у) х 1 +х 2 2 Х= у1 +у 2 2 У= 1.1. Координаты середины отрезка 2.Расстояние между двумя точками А(х 1 ;у 1 ) В(х 2 ;у 2 ) АВ=(х 2 -х 1 )²+(у 2 -у 1 )² 3.Вычисление длины вектора a {x;y} l a l =x²+y²

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ) α а b аb=lal·lbl·cosα · ) α a{x1;y1} b{x2;y2} Cкалярное произведение векторов a{x1;y1} и b{x2;y2} выражается формулой а·b =x1·x2+y1·y2

следствия 1.Ненулевые векторы а{x1;y1} и b{x2;y2} перпен- дикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0, т.е. х1х2+у1у2=0. а{x1;y1} b{x2;y2} ) α а b 2. Косинус углаα между ненулевыми векторами а{x1;y1} и b{x2;y2} выражается формулой cosα= x1x2+y1y2 x1²+y1²·x2²+y2²

Порешаем! 1.Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты А(2;2),В(8;10),С(8;8) Найдем длины сторон треугольника 1)А(2;2),В(8;10). а=((8-2) ²+(10-2)²)=(36+64)=10 2)В(8;10),С(8;8). b=((8-8) ²+(10-8)²)=4=2 3)А(2;2),С(8;8). c=((8-2) ²+(8-2)²)=62 Найдем площадь по формуле Герона S=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(12+62)/2=6+32 S=(6+32)( )(6+32-2)( )= (6+32)(32-4)(32+4)(6-32)= «первый и четвертый множители образуют формулу, второй и третий тоже» =(36-18)(18-16)=18*2=6 Ответ: 6

Порешаем! 2.Даны векторы а=mi+3j+4k и в=4i+mj-7k. При каком значении m векторы а и в перпендикулярны? Векторы а и в перпендикулярны, если их скалярное произ- ведение равно 0. а·в=0; a{m,3,4} в{4,m,-7}. a·в=4m+3m-28=0 7m=28 m=4 Ответ: 4

Порешаем! 3.Дан треугольник АВС. А(-6;1)В(2;4)С(2;-2) Доказать:1)треугольник АВС равнобедренный 2)найти высоту, проведенную из вершины А Ответ:8 Решение: 1)Найдем длины сторон треугольника А(-6;1),В(2;4). АВ=(2+6)²+(4-1)²=73 В(2;4),С(2;-2).ВС=(2-2)²+(4+2)²=36=6 А(-6;1),С(2;-2).АС=(2+6)²+(1+2)²=73 Т.к. АВ=АС, то ΔАВС-равнобедр. с основанием ВС. 2)Высота, проведенная к основанию является медианой. О(х;у) –середина основания. х=(2+2)/2=2, у=(4-2)/2=1. О(2;1). Найдем высоту АО: АО=(2+6)²+(1-1)²=8

Порешаем! 4.При каком значении t вектор 2a+tb перпендикулярен вектору b-a,если a{2;-1}, b{4;3}? Решение: Т.к. векторы 2а+tb и b-a перпендикулярны, то и их скалярное произведение равно 0. Т.е. (2а+tb )·(b-a)=0 2ab-2a²+tb²-tab=0 ab=2·4+3·(-1)=8-3=5, a²=4+1=5, b²=16+9=25 2·5-2·5+t·25-t·5= t=0 t=0 Ответ: 0

Порешаем! С А В Решение: 1)АВ²=ВС²+АС² 17²=8²+15² 289=289, ΔАВС- прямоугольный,

Дома: 1)выучить теоретический материал; 2)решить задачи: А) Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6см. Найдите скалярное произведение LM и LN. Б) Найдите косинус угла А в треугольнике АВС, если А(-4;2), В(2;4),С(-1;-2).

Задачи и оформление презентации взяты с сайтов: