Конструктивные задачи на построение как один из способов преодоления трудностей при изучении стереометрии в 10 классе. Темы: 1. Построение точки встречи прямой с плоскостью 2. Построение сечений многогранников плоскостью заданной следом и точкой на поверхности многогранника 3. Построение сечений плоскостью проходящей через сторону оснований многогранника и заданную точку 4. Построение сечений многогранника по трём данным точкам методом построения следа секущей плоскости на плоскости основания

Задача 1 Точка В расположена на боковом ребре куба. Точка А на пересекающей его стороне верхнего основания. Построить точку встречи прямой АБ с продолжением рёбер куба. Решение задачи очевидно из чертежа, точки В1 и В2 искомые. В1 А В

Задача 2 Точки А и В расположены на боковых рёбрах треугольной пирамиды. Построить точку встречи прямой АВ с плоскостью нижнего основания (продолжением стороны основания). Решение задачи очевидно из чертежа, точка К искомая. S F C D K B А

Задача 3 Точка А лежит на боковой грани треугольной пирамиды, точка В на непринадлежащем ей ребре. Построить точку встречи прямой АВ с плоскостью основания. Решение: через точку А и вершину S проведём прямую SA. Точку встречи этой прямой с плоскостью основания обозначим через E. В плоскости SDE продолжим прямую ВА до пересечения её с DE. Точка К пересечение этих прямых – искомая. S B А D Е K В1 В2

Задача 4 Точки А1 и В1 расположены на смежных гранях куба, построить точку встречи прямой А1В1 с плоскостью нижнего основания. Решение точки А1В1 имеют своими проекциями соответственно точки А2В2. Проектирующие плоскости А1А2В2В1 проведём прямую А1В1 до пересечения со следом А2В2 в точке К. точка К – искомая. В А С D В C D В2В2 F2F2 А K А2А2 В1В1

Сечение многогранников Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Галилео Галилей.

Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости

Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

Демонстрация сечений

След секущей плоскости Призма Плоскость основания Секущая плоскость Даны три точки на боковых ребрах Сечение

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам - разрезам. Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник. Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

Методы построения сечений Аксиоматический метод Аксиомы стереометрии

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

A B C D K L M N F G Проводим через точки F и O прямую FO. O Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях? Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

A B C D K L M N F G Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO. O Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. Аналогичным образом получим точку R. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. H R Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

C B ES AD K L M N F G Шаг 4: выделяем сечение многогранника Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G. O G

Задача 1 Построить сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью, заданной прямой А на плоскости основания и точкой D, расположенной на боковом ребре SA. Решение: плоскость основания имеет с плоскостью грани SAC общую прямую АЕ, а с плоскостью SAB – прямую АМ, следовательно, плоскость сечения и плоскость грани SAC имеет общие точки DE, а потому пересекаются по прямой DE; аналогично плоскость грани SAB и секущая плоскость пересекаются по прямой DM, в результате построения прямой DE и DM получим точки F и K, отсюда искомое сечение треугольник DFK. с S D K B M а Е А F

Задача 2 Построить сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью заданной следом MN на плоскости основания и точкой D на боковой грани SBC, решение: проектирующая плоскость SAD и секущая плоскость имеют общую точку F, а следовательно и общую прямую FD, которая определяет точку К на ребре SA. Зная точку К и точку А1 равную MN X AC находим точку L=KF1 X SC. Итак, имеем следы искомого сечения: LK, LD а следовательно и KL1 искомое сечение треугольник. S K L1L1 B N F E1E1 M А Е L D

Задача 3 Построить сечение треугольной призмы плоскостью заданной следом MN на плоскости основания и точкой К на боковом ребре СС1. Расположить данные MN и К на чертеже так чтобы в сечении получить треугольник. Решение: находим точки FL на MN. Прямая FK определяет точку D на ребре AA1, а прямая DL – точку E на ребре ВВ1. Треугольник DKE – искомое сечение. А1А1 В1В1 E DC1C1 А C K В L N M

Расположить на чертеже данные MN и К условия задачи так, чтобы получить в сечении четырёхугольник. Решение: Определим точки F и L. Точка D = (KF) x (A1C1). Строим DD1 || MN. Точка E=(D1L) x (ВВ1) Искомое сечение четырёхугольник DD1EK M E А1 D1 D А С1 В L N C В1 F K

Построить сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, заданной следом MN на плоскости оснований и точкой К на боковом ребре SB. Решение: рассмотрим случай, когда MN не параллельна ни одной из сторон основания. Прямая MN имеет с плоскостями боковые грани SAB, SDC и SAD пирамиды соответственно общие точки F1F2F3. Находим точку E1 равную (KF1) x (FA), точку E2=(F3E1) x (SD) и точку E3 = (E2F2) x (SC). Четырёхугольник KE1E2E3 – искомое сечение. S E2E2 E3E3 N F2F2 F1F1 F3F3 C А Е1Е1 K

Плоскости основания прямой четырёхугольной призмы дана прямая MN, не пересекающая сторон основания на боковом ребре точка К. построить сечение призмы плоскостью, определяемой прямой MN и точкой К. Высоту призмы взять такой чтобы в сечении получился: A. Четырёхугольник B. Пятиугольник C. Треугольник Решение: высоту призмы берём такой чтобы секущая плоскость не пересекала плоскость верхнего основания призмы. На прямой MN находим общие точки F1F2F3 той прямой с гранями АА1D1D, BB1C1C и АА1В1В. Затем находим точки Е1=(KF1) x (АА1), (E2F1F3) x (BB1 ), E3=(E2F2) x (CC1) Искомое сечение четырёхугольник E1E2E3K В1 С1 А1 E3 N F2 M А F1F1 F3 E1E1 E2 D1D1 C D K В

Б) Высоту призмы берём такой, чтобы плоскость пересекала все боковые грани верхнее основание призмы. Как видно из чертежа решение аналогично предыдущему случаю. Однако можно обойтись без точки D, проведя E1E2 параллельно MN на основании теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей. Сечение пятиугольник E1E2E3E4K Случай B рассмотреть самостоятельно. E2 E3 K N F2 M F1F1 C E4 F3 D E1

Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону AE основания и точку K взятую на боковом ребре DD1. точку K взять так чтобы в сечении получился пятиугольник. Решение: След секущей плоскости на плоскости основания и сторона основания AE совпадают. Поэтому дальнейшее решение задачи аналогично решению предыдущих задач. Так последовательно находим точки M=(DC) x (AE); N=(MK) x (CC1) P=(BC) x (AE) L=(NP) x (BB1). Пятиугольник AEKNL искомое сечение. P А E М D С N А С1 В1 E1 L D1 В К

Построение сечений многогранников по трём данным точкам методом построения следа секущей плоскости на плоскости основания. Построить сечение пирамиды плоскостью заданной тремя точками, из которых две (NP) лежат на боковых рёбрах, а третья M – на стороне основания, причём точки MNP не принадлежат одной грани. Решение: В условиях задачи не говорится какая пирамида имеется ввиду, треугольная, четырехугольная, пятиугольная. Метод решения задачи от этого не зависит. Итак: мы возьмём пятиугольную пирамиду. Построим след секущей плоскости на плоскости основания, по условию задачи точка M принадлежит следу, остаётся найти вторую его точку. Прямая NP принадлежит секущей плоскости, поэтому найдём её точку встречи с плоскостью основания проведём NP плоскости грани SDC, найдём точку К1=(ВС) x (DM) Прямая MK1 – след секущей плоскости Имея след K1M найдём точки его пересечения с плоскостями боковых граней SBC, ASB, DES, т.е. точки К2Т2, и К3 Итак найдя след находим точки пересечения с его боковыми гранями, затем находим точки Т1Т2, пересечение боковых рёбер SB и SE с плоскостью сечения: Т1=(K2N) x (SB) N3=(PK) x (SE), точки Т1,Т2,M,Т3,P принадлежат искомому сечению.

S P D N C T3 К3 M А T2 К2 К1 В T1 Е

ЗАДАЧА Построить сечение пирамиды плоскостью заданной двумя точками m и n на боковых рёбрах пирамиды, и точкой Р на боковой грани, не содержащей указанных точек. В данной задачи мы рассмотрим четырёхугольную пирамиду с расположением мочек M N P указанных на чертеже. Решение на следующем слайде.

Построим след секущей плоскости на плоскости основания. Точка К1 = MNxAD принадлежит следу. Прямая К1К4 след секущей плоскости на плоскости основания. Найдём точки К2 К3 К5 пересечение следа К1 К4 с плоскостями боковых граней SBC, SAB, SDC. Через точки К2Р принадлежащие плоскости грани SBC проведём прямую. Прямая К2Р пересекает ребро SB и SC соответственно в точках F1F2. искомое сечение – четырехугольник NMF2F1. К

Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью заданной двумя точками MN на боковых гранях BSC и SDE и точкой Р на боковом ребре SF. След секущей плоскости определяется построением точек К2К3 дальнейшее построение смотрите на чертеже.

Построить сечение шестиугольной призмы плоскостью проходящей через точки M,N,P расположенных на гранях FF1E1E, AA1B1B и EE1D1D. Решение : строим след секущей плоскости на ПЛоснования, определив точки K2K4 по трём точкам MNP. Далее находим точки K1K3K5 встреча прямой K2K4 с PL боковых граней AA1B1B, AA1F1F, CC1D1D. Дальнейшее построение ясно из чертежа.

Метод внутренних проекций Покажем этот метод на нескольких задачах. Дан куб ABCD A1B1C1D1. Точка N принадлежит AB, M принадлежит AD, построить сечение куба плоскостью, проходящей через вершину С1 и точки MN, взятые на сторонах AD и AB основания. Решение : проектирующими будем считать боковые рёбра куба. Проекцией точка С1 на плоскость нижнего основания – С. Точки MN совпадают со своими проекциями. Найдём точку встречи ПЛ (MNC1) с проектирующей АА1. соединим M и N, C и A получим точку E=MNxCA, тоесть точку встречи ПЛ (C1MN) с прямой АА1. проведём прямую К1M и К1N, получим две точки K3 и K2. Итак мы нашли все точки в которых плоскость пересекает проектирующие нашего чертежа. Пятиугольник MNK2C1K3 – искомое сечение

Построить сечение пятиугольной пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через три точки MNP взятых на боковых рёбрах SA SE SD. Решение: через проектирующие SE SB проводим плоскость тогда её след BE пересечёт AD в точке A1; проектирующая SK1 x ТЗ = K2; прямая NK2 x SB = K3 Аналогично берём проектирующую плоскость SCE и находим точки F1F2 и точку F3 принадлежащую SC. Полученные точки F3 и K3 с точками M,N и P образуют вершины искомого сечения. MNPF3K3

Список литературы В презентации использовались сборник статей по вопросам преподавания геометрии в старших классах: конкретно статья – конструктивные задачи на построение – Казаков П.Г.