Цель : Оказать дополнительную помощь учащимся в усвоении темы «Неравенства» через анализ ошибок, выполнение тренировочных заданий, обзорное рассмотрение темы «Неравенства» и использование дополнительных приемов решения неравенств и их систем (в заданиях различного уровня сложности)

Проверяемые элементы подготовки по теме: Уметь выполнять задания на проверку понимания алгоритмической трактовки понятий «больше» и «меньше»; знать свойства числовых неравенств. Уметь решать линейные неравенства и квадратные неравенства, опираясь на графические соображения; уметь решать системы линейных неравенств.

Основные недостатки математической подготовки, или на что надо обратить внимание при подготовке к ГИА Затруднения: В применении свойств числовых неравенств, на которых основан алгоритм решения линейных неравенств

Свойства неравенств При переносе любого члена неравенства из одной части в другую, знак члена неравенства меняется, а знак неравенства – нет. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число. Если число положительное – знак неравенства не меняется, если отрицательное – меняется. К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число – знак неравенства не меняется.

Выполним задание О числах m и n известно, что m < n. Какое из следующих неравенств неверно? а) 4 – m > 4 – n; в) 5m < 5n; б) m – 3 < n – 3; г) -1/3m < -1/3n. Решение: а) m -n 4 – m > 4 – n б) m < n m – 3 < n – 3 в) m < n 5m < 5n г) m - 1/3n Ответ: г.

Решим вместе: Какое из неравенств не следует из неравенства x > y – z? а) x + z > y; в) x – y + z > 0; б) y 0. Решение: а) x > y – z – следует б) –x y – z – следует в) x > y – z – следует г) –x > z – y, x < y – z – не следует. Ответ: г.

Неравенства с одной переменной и системы неравенств. Линейные Квадратные Рациональные Иррациональные

Линейные неравенства -2х > 6 x < -3 2(4x +13) – 5(5+2x) - (6 - 7x) При каком наибольшем целом значении а разность дробей и положительна? - > 0 -2x > 4 + 2x -4x > 4 x < 1

Квадратные неравенства ax 2 + bx + c > 0 (< 0, 0, 0) Графический способ: Вводим соответствующую функцию y = ax 2 + bx + c Определяем направление ветвей параболы (а > 0 – вверх, а < 0 – вниз) Находим нули функции; решаем уравнение ax 2 + bx + c = 0 Отмечаем корни на прямой и схематически рисуем параболу в соответствии с направлением ветвей Находим решение неравенства с учетом знака неравенства.

x 2 + 5x 6 x 2 + 5x – 6 0 х 1 = -6, х 2 = -1 Ответ: [-6;1] - x 2 – 2х x 2 + 2х – 3 0 х 1 = -3, х 2 = 1 Ответ: [-3;1]

Метод интервалов аx 2 + bx + c = a(x – х 1 )(x – х 2 ) x 2 + x – 6 0 х 1 = -3, х 2 = 2 (x – 2)(x + 3) 0 Ответ: (- ; -3 ] U [2 ; + ). x(x + 6)(x + 3)(x – 4) > 0 Ответ: ( - ; -6) U (-3; 0) U (4; + )

x 2 (x – 1)(x – 2)(x – 5) < 0 x = 0 – корень второй кратности. Ответ: ( - ; 0) U (0; 1) U (2; 5) 1. Перенести все слагаемые в левую часть. 2. Разложить на множители. 3. Найти нули функции. 4. Нанести корни многочлена на числовую ось. 5. Определить знаки функции на промежутках. 6. Выбрать подходящие интервалы в соответствии со знаком неравенства

Рациональные неравенства / (10х + 5)(1 – х) < 0 14 > 0, => (10х + 5)(1 – х) < / (х + 4)(3 – 10х) > (x + 4)(3 – 10x) < 0 3. Найти область определения y = 1 – x = 0, x x = -1, x -2 0 x = 1 Ответ: (-2; 1]

4. x 2 – 0.16 > 0 (x – 0.4)(x + 0.4) > x 2 < 32 x 2 < 16 (x-4)(x+4) 0 -x x – 16 > 0 -(x – х 1 )(x – х 2 2) > 0 x 2 – 10x + 16 < 0 (x – х 1 )(x – х 2 ) < 0

Системы неравенств -10 < 3x – < 3x – < 3x 6 -2 < x 2 (-2 ; 2] 3x – 4 2 3x 6 3x – 4 > -10 3x > -6 x 6 (-2 ; 2] x > -2 | 3x – 2| < 10 3x – 2 < 10 3x – 2 > -10

Задание. Найти и указать ошибки в приведенном решении, если они есть. Оценить достоинства и недостатки решения. Попытаться вскрыть причины ошибок и недочетов. Можете привести свое решение. Выполните работу на листочке.

Выполним тренировочную работу: Образец: Найти область определения функции y = 7+4x-3x 2 / x – 1. 1) Квадратный корень имеет смысл, если 7+4х-3x 2 0 2) Решим неравенство. Умножим обе части на -1. Получим 3x 2 – 4х – ) Квадратный трехчлен имеет корни х 1 = -1, х 2 = 7/3 4) Изобразим схематический график функции y = 3x 2 – 4x – 7, выберем промежуток [-1;7/3] 5) Исключим из этого промежутка x = 1, которое обращает знаменатель в ноль. Ответ: [-1;1) U (1;7/3]

Найдите область определения выражения /х + 4 Решение. Решим неравенство: ____ - 3х 2 0. Преобразовав его, получим : 3х 2 - ____ 0. Квадратный трехчлен 3х 2 - ______ имеет корни : x 1 = ____; x 2 = ___. Изобразим схематично параболу y=3x 2 - ___. Исключим x = ____ из промежутка. Ответ:____ x1x1 x2x2

Способ контрольных и граничных точек. Иногда полезно знать приемы, которые позволяют либо определить правильный ответ, либо исключить явно неверные ответы Способ граничных точек. При решении неравенств (или задач связанных с ними) ответы могут различаться граничными точками промежутков. Поэтому проверку надо начинать именно с этих точек. Способ контрольных точек. Ответ проверяется для нескольких (наиболее простых) значений переменных. Способ применяется в преобразованиях выражений, при решении неравенств.

СПОСОБ КОНТРОЛЬНЫХ ТОЧЕК Сравните а 2 и а 3, если известно,что 0 < а < 1. 1) а 2 < а 3 3) а 2 = а 3 2) а 2 > а 3 4) для сравнения не хватает данных Даже не зная свойств числовых неравенств, можно взять число а, удовлетворяющее неравенству 0 1/8 то а 2 > а 3 и правильным будет ответ 2.

СПОСОБ ГРАНИЧНЫХ ТОЧЕК Решим систему неравенств 2х – 3х 0 1) х -2 3) -2 х 5 2) х 5 4) х -5 и х 2 Ответы 1 и 3 отличаются от ответов 2 и 4 тем, что в них входит точка х = -2. Подставим -2 в систему и получим – неверно, значит ответы 1 и 3 не могут быть верными, неверен ответ 4 (при х = -5). Значит верен ответ 2.