Л.Н. Кривдина СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Цель работы Разработать подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных динамических объектов, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств. Синтезировать дискретные регуляторы следующих видов: – стабилизирующий регулятор по состоянию; – стабилизирующий регулятор по выходу; – D-стабилизирующий регулятор; – оптимальный и -оптимальный регуляторы по состоянию; – оптимальный и -оптимальный регуляторы по выходу. Разработать методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств.

Оптимальные регуляторы по состоянию Объект управления: (1) где – управляемый выход, – начальное состояние. Регулятор: (2) Цель управления: минимизация функционала (3)

Теорема 1. Оптимальный регулятор по состоянию существует тогда и только тогда, когда существуют и число удовлетворяющие линейным матричным неравенствам (4) (5) где –заданное начальное состояние объекта. Если (4) и (5) разрешимы, то где и – матрицы, соответствую- щие минимально возможному

Оптимальные регуляторы по выходу Объект управления: (6) Регулятор: (7) Цель управления: минимизация функционала (8)

Теорема 2. Оптимальный регулятор по выходу вида (7) с для дискрет- ного объекта (6) с заданным существует тогда и только тогда, когда существуют и число удовлет- воряющие линейным матричным неравенствам (9) где столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы, а столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы

-оптимальные регуляторы по выходу Постановка задачи: (10) Теорема 3. -оптимальный регулятор по выходу ви- да (7) с для дискретного объекта (6) сущест- вует тогда и только тогда, когда существуют и число удовлетворяющие линейным матричным неравенствам (9), в которых последнее нера- венство заменено следующим (11)

Численные результаты Уравнения двухзвенного перевёрнутого маятника: (12) Оптимальный регулятор по состоянию (13)

Оптимальный регулятор по выходу (при начальном условии )

-оптимальный регулятор по выходу (14)

Выводы Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных дискретных динамических объектов, основанный на применении аппарата линейных матричных неравенств. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия существования дискретных динамических регуляторов следующих видов: – стабилизирующий регулятор по состоянию; – стабилизирующий регулятор по выходу; – D-стабилизирующий регулятор; – оптимальный и -оптимальный регуляторы по состоянию; – оптимальный и -оптимальный регуляторы по выходу. Разработаны методы нахождения параметров соответствующих регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных неравенств. В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.

Многоцелевые законы управления дискретными объектами при ограничениях Объект управления: (15) Функционалы: (16) (17)

Целевой функционал: (18) Функционал Is (s=1,2,…,N) входит в целевой критерий (18), если или определяет ограничение (19) с заданным если Цель управления:минимизация целевого функционала(18) при выполнении ограничений (19), т.е. (20) при минимально возможном значении с учетом огра- ничений (19).

Многоцелевые регуляторы по состоянию Объект управления: (21) Регулятор: (22) Цель управления: (23) при минимально возможном с учетом ограничений (19).

Теорема 4. Пусть - минимальное значение, при котором система линейных матричных неравенств (24) (25) (26) разрешима относительно и всех для которых в целевом функционале(18) имеет место Тогда закон управления (22) в котором где и - решения, соответствующие значению является многоцелевым законом управления по состоянию для системы (21).

Многоцелевые регуляторы по выходу Объект управления: (27) Регулятор: (28) Цель управления: (29) при минимально возможном с учетом ограничений (19).

Теорема 5. Пусть - минимальное значение при котором система линейных матричных неравенств (30) (31) (32) где разрешима относительно -матриц и всех для которых в целевом функционале (18) имеет место Тогда существует многоцелевой закон управления по выходу вида (28) для системы (27).

Численные результаты Уравнения однозвенного перевёрнутого маятника: (33) (34) (35)

Выводы Решена задача многоцелевого управления по состоянию для дискретных объектов. Решена задача многоцелевого управления по выходу для дискретных объектов.

Спасибо за внимание!