Методы построения сечений Выполнила: Пухова Екатерина Ученица 10 «А» класса Выполнила: Пухова Екатерина Ученица 10 «А» класса

Причины выбора темы Стереометрия является важной частью изучения геометрии. При построении сечений применяется множество различных теорем и аксиом стереометрии Применение полученной в ходе работы теории, на практике. Усвоение материала и дальнейшее развитие знаний. Построение сечений является одной из интереснейших тем.

Методы построения сечений Метод следов Метод следов Комбинированный метод Комбинированный метод Метод вспомогательных сечений Метод вспомогательных сечений Построение следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Является универсальным, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа. Применение теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Примеры секущей плоскости Куб Тетраэдр Конус Шар Пирамида Цилиндр

Построить сечение тетраэдра DABC, если точка N лежит на ребре AD, точка M лежит на ребре AB, точка P лежит на ребре BC. AM : MB = AN : ND. Построение сечений методом следа Построение сечений с использованием свойств параллельности. 1.NM, MP 2.Треугольники ANM и ADB – подобны (по 2 признаку); NM||DB(по свойству соответственных углов). 3.NM || DBC (по признаку параллельности прямой и плоскости) 4.MN || линии пересечения плоскостей (по 1 свойству параллельности). MN || PX 5.NX 6.MNXP – сечение. 1.NM, MP 2.MP (ACD) a)MP Є (ABC) b)(ABC) (ACD) = AC c)MP AC = X 1 4. X 1 N 5. X 1 N DC = X2 6. MNX 2 P - сечение

Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если точка M лежит на ребре A 1 D 1, точка N – на ребре CC 1, точка P – на ребре AB. Построение сечений с использованием свойств параллельности. 1. MN (ABC) a)MN Є (MM 1 C) b)(MM 1 C) (ABC) = AC c)AC MN = X 1 2. X 1 P 3. X 1 P BC = X 2 4. ADD 1 || BCC 1 ; α BCC 1 = NX 2 ; α ADD 1 = M, следовательно MX 3 ||NX 2 5. X 3 P 6. ABB 1 || DCC 1 ; α ABB 1 = X 3 P; α DCC 1 = N, следовательно NX 4 ||X 3 7. MX 4 MX 4 NX 2 PX 3 – сечение 1. MN (ABC) a)MN Є (MM 1 C) b)(MM 1 C) (ABC) = AC c)AC MN = X 1 2. X 1 P 3. X 1 P BC = X 2 4. X 2 P ADD 1 = X 3 5. MX 3 6. NX 2 A 1 B 1 C 1 = X 5 7. X 5 M MX 6 NX 2 PX 4 - сечение X3X3 X4X4 X6X6 X5X5

Комбинированный метод Основным следом плоскости PQR является прямая PQ. Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей. Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN. Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллельна BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD. Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD'RB' - искомое сечение. На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Результаты исследования В своей работе я рассмотрела все основные способы построения сечений многогранников. На конкретных примерах показала применение этих способов. Сечение многогранников является не только разделом геометрии, но и применяется на практике в различных сферах жизни. Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геометрические поверхности. Пылесборник машины для очистки литых деталей представляет собой усеченный цилиндр (рис. 1) Форма крышки трубы пылесборника является фигурой сечения прямого кругового цилиндра и представляет собой эллипс. Пример сечения прямого кругового конуса приведен на рисунке 2. Кроме того, иногда необходимо выполнить развёртки поверхности полых деталей, усечённых плоскостью. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, вентиляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. (рис. 3). Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3