ПОНЯТИЕ О ЛОГИКЕ КАК НАУКЕ 10 класс

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Логика – это наука о формах и способах мышления

Основными формами абстрактного мышления являются: Понятия Суждения Умозаключения

Понятие - Форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов Например: Портфель, трапеция, ураганный ветер

Понятие имеет две стороны: содержание и объем Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Например, содержание понятия «персональный компьютер» можно раскрыть следующим образом: «Персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя».

Понятие имеет две стороны: содержание и объем Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «Персональный компьютер» выражает всю совокупность существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Суждения являются истинными или ложными повествовательными предложениями. Они могут быть простыми и сложными. Например: Весна наступила. Грачи прилетели. Весна наступила, и грачи прилетели.

Умозаключение - Форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Например: Все металлы – простые вещества. Литий – металл. Литий – простое вещество. Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики.

Формальная логика – наука о законах и формах мышления. Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода.

Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истины они или нет.

В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы математической логики. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

В математической логике суждения называют высказываниями. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например: Земля – планета Солнечной системы. 2+8

Примеры, не являющиеся высказываниями: Уходя, гасите свет. Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое!

Сложные высказывания получаются путем объединения простых высказываний связками – союзами И, ИЛИ и частицей НЕ. Значение истинности сложных высказываний зависит от входящих в них простых высказываний и от объединяющих их связок.

Например, даны четыре простых высказывания: На улице идет дождь. На улице светит солнце. На улице пасмурная погода. На улице идет снег. Составьте два сложных высказывания, одно из которых в любой ситуации будет ложно, а другое – всегда – истинно, обязательно используя все предложенные простые высказывания.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно он или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно – 0.

Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные – логическими функциями Значение логической функции также только 0 и 1.

Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С У кошки четыре ноги А =1 Москва расположена на двух холмах В=0

Значение логической функции для разных переменных, или наборов входных переменных, обычно задаются специальной таблицей, которая называется таблицей истинности. Количество наборов входных переменных (Q) определяется по формуле: Q =, где n-количество входных переменных

Для простоты заполнения таблицы наборы входных переменных удобно перечислять следующим образом: 1. Определить количество наборов (строк в таблице) по формуле Q = ; 2. Разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю половину нулями, нижнюю половину 1; 3. В следующей колонке для второй переменной половинку снова делить пополам и заполнить четырьмя группами 0 и 1 вперемежку, начиная опять с группы 0; 4. Так делать до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.

Таблица будет иметь вид: XYZF (X,Y,Z)

В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Логические операции позволяют записать любую логическую функцию.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу И, Обозначается знаками ^, &, X, and, и Иначе называется ЛОГИЧЕСКИМ УМНОЖЕНИЕМ Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Таблица истинности конъюнкции АВА^ВА^В

Например, А - число 100 делится на 5 В – число 100 больше 5 Тогда высказывание А ^ В «число 100 делится на 5 и число 100 больше 5» будет истинным.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу ИЛИ, Обозначается знаками v, +, or, или Иначе называется ЛОГИЧЕСКИМ СЛОЖЕНИЕМ Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции АВАvВАvВ

Например, А - число 20 делится на 7 В – число 20 больше 7 Тогда высказывание А v В «число 20 делится на 7, или число 20 больше 7» будет истинным.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ Соответствует частице НЕ, Обозначается черточкой над именем переменной ( ) или знаком ( ) Иначе называется ОТРИЦАНИЕМ Инверсия логической переменной истинна если сама переменная ложна, и наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

Таблица истинности инверсии А 01 10

Логическая операция исключающее ИЛИ Соответствует словосочетанию ИЛИ…, ИЛИ (ЛИБО…, ЛИБО), Обозначается знаками Исключающее ИЛИ двух логических переменных истинно тогда и только тогда, когда только одно высказывание истинно.

Таблица истинности исключающего ИЛИ АВА В

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ Соответствует словосочетанию ЕСЛИ…, ТО… Обозначается знаками Импликация двух логических переменных истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно.

Таблица истинности импликации АВА В

Первые две строки таблицы говорят о том, что из ложного высказывания можно получить как истинное, так и ложное высказывание. Например, Если 2+3=4, то 2*2=4; Если 2+3=4, то 2*2=5.

Высказывание после слова «если» называется основанием, а после слова «то» - следствием. Например, «если идет дождь, то земля мокрая». Простое высказывание «идет дождь» - основание, а «земля мокрая» - следствие.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ Соответствует словосочетанию ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА… Обозначается знаками, = Эквиваленция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда А – истинно и В – истинно или А – ложно и В – ложно. В остальных случаях А В ложно.

Таблица истинности эквиваленции АВА В

Приоритеты логических операций: 1. Инверсия 2. Конъюнкция 3. Дизъюнкция 3. Исключающее ИЛИ 4. Импликация 4. Эквиваленция

Опустите лишние скобки ((А+(ВС)) (( )+С))

Расставьте скобки, явно указав порядок выполнения операций (А+BD )+(B+C D)

Построить таблицу истинности для следующей формулы А

Из полученной таблицы истинности видно, что значения формулы А совпадают со значениями формулы А. Такие формулы называются равносильными. Для обозначения равносильности пользуются знаком равенства, то есть А = А

Проверьте равносильность следующих формул с помощью таблиц истинности. 1) А В= +В 2) А В= 3) А(А+В)=А 4) А+АВ=А

Равносильные формулы взаимозаменяемые Две формулы называются совместимыми, если хотя бы при одной оценке переменных они одновременно являются истинными. В противном случае они несовместимые. Две формулы называются противоположными, если при любой оценке переменных они принимают противоположные значения, и в этом случае каждая из формул является отрицанием другой.

Все формулы логики высказываний можно разделить на три класса: 1) нейтральные, или выполнимые – принимающие как истинные, так и ложные значения; 2) тождественно истинные формулы (или тавтологии) – принимающие истинные значения при любых оценках переменных; 3) тождественно ложные формулы – принимающие ложные значения при любых оценках переменных.

Существует два способа определения истинного значения формулы: 1. С помощью таблиц истинности; 2. Путем приведения формул к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквиваленции, импликации, исключающей дизъюнкции, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Основные законы логики А= А закон тождества; вторая форма закона непротиворечия; закон исключенного третьего; закон двойного отрицания.

Основные законы логики Свойства констант

Законы идемпотентности A v A=A;A^A=A. Законы коммутативности (переместительный) A v B=B v A;A^B=B^A. Законы ассоциативности (сочетательный) A v (B v C) = (A v B) v C;А ^ (В ^ C) = (А ^ В) ^ С. Законы дистрибутивности (распределительный) A v (B ^ C) = (A v B) ^ (A v C); A ^ (B v C) = (A ^ B) v (A ^ C). Основные законы логики

Законы поглощения A v (A ^ B)=A;A^ (A v B)=A. Закон инверсии, или закон де Моргана Av B = A^B;A^B = Av В Правила замены операции импликации А В = A v В; А В = В А. Правила замены операции эквивалентности A B = (A^B) v (A ^B); А В = (A v В ) ^ ( A v B); A B = (A B) ^ (B A) Основные законы логики

Закон исключения (склеивания) (А ^ B) v (A ^ B)=A (А v B) ^ (A v B)=A Закон поглощения A v (А ^ B) =AA ^ (A v B) =A A v (А ^ B) =Av BA ^ (A v B) =A ^ B Основные законы логики

Построить таблицы истинности для следующих формул: 1. Аv ( ^В) 2. (А^B) v (A^B) v (A^C) 3. (A v A) ^ (B A^C) 4. ((A v B) C)=A

Упростите логические выражения 1. A ^ B v A ^ B 2. (A v B) ^ (A v B) 3. X v X ^ Y 4. A ^ C v B ^ C v A ^ B 5. X v Y 6. X ^ Y v X ^ Y v X ^ Z

Самостоятельная работа