Устная математическая олимпиада для 7-8 классов для 7-8 классов «Круги Эйлера» Устная математическая олимпиада для 7-8 классов для 7-8 классов «Круги Эйлера»

Леона́рд Э́йлер швейцарский, немецкий и российский математик, живший в 18 веке, который внес значительный вклад в развитие математики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер автор более чем 800 работ Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

1 этап. Иллюстрация решения задач с помощью кругов Эйлера (2 примера) 2 этап. Решение 5 задач олимпиады Решение 5 задач олимпиады : По мере решения задач представитель команды подходит к члену жюри и рассказывает решение одной задачи. Если задача решена правильно, то на карточке с текстом задачи член жюри выставляет максимальный балл ; если в решении будет ошибка, то команда получает штрафное очко, но имеет возможность попробовать сдать решение повторно

учащиеся 7- 8 классов школ Южного округа г. Москвы 420; 581; 870; и 8 классы соревнуются каждый в своей категории Члены жюри: учителя и старшеклассники школ – участников олимпиады ЗАПОЛНИТЬ ЛИСТЫ РЕГИСТРАЦИИ

15 минут объяснение метода объяснение метода 40 минут решение 5 основных задач и 2 дополнительных задач решение 5 основных задач и 2 дополнительных задач 15 минут показ решений и рассказ о предстоящих играх показ решений и рассказ о предстоящих играх

В деревне в каждой семье есть корова или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне дворов? В деревне в каждой семье есть корова или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне дворов? Пример 1 СПОСОБ =30 К=20 Л=

В деревне в каждой семье есть корова или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне дворов? В деревне в каждой семье есть корова или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне дворов? К=20 Л=25 Пример 1 СПОСОБ =30

В классе 36 человек. После каникул классный руководитель спросил учеников, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что и в театре, и в кино, и в цирке побывало 2 человека. В кино побывало 10 человек; в театре - 14 человек; в цирке - 18 человек; и в театре, и в цирке - 8 человек; и в кино, и в цирке - 5 человек; и в театре, и в кино - 3 человека Сколько учеников класса не посетили ни театр, ни кино, ни цирк? ПРИМЕР 2.

Внутри этого круга построим три пересекающихся круга меньшего диаметра: * эти круги будут изображать соответственно театр, кино и цирк. Пусть большой круг изображает множество всех учеников класса.

Для ясности эти круги обозначим буквами Т *, К *, Ц *. ТТ К Ц

Общей части всех трех кругов соответствует множество ребят, посетивших и театр, и кино, и цирк, поэтому обозначим ее ТКЦ *. Т Ц К

Через ТКЦ * обозначим множество ребят, побывавших в театре и кино, но не побывавших в цирке. Т Ц К

Аналогичным образом обозначим и все остальные области, отрицание отметим чертой над символом. Т Ц К

Обратимся к числовым данным. Т Ц К При ответе вы можете сразу расставлять числовые значения, не вводя предварительных обозначений

В кино побывало 10 человек. Т Ц К = 10

Т К = 14 В театре - 14 человек. Ц

Т К = 10 = 14 В цирке - 18 человек. Ц = 18

Т Ц К = 10 = 14 Так как и в театре, и в кино, и в цирке побывало 2 человека, внесем в область ТКЦ * число 2. = 18 2

Т Ц К = 10 = 14 По условию задачи и в театре, и в кино побывало 3 человека *, поэтому в область ТКЦ запишем 1 *. = – 2=1

Т Ц К Так как и в кино, и в цирке побывало 5 человек *, то в область ТКЦ внесем число – 2 =3 1

Т Ц К = 10 =14 Так как и в театре, и в цирке побывало 8 человек *, то в область ТКЦ внесем число 6 *. = – 2 =6

Т Ц К = 10 = 14 А теперь вычислим сколько человек побывало только в театре*, только в кино* и только в цирке*. = = = =7

Т Ц К = 10 = 14 =

Нам осталось узнать, сколько учащихся не посетили ни театр, ни кино, ни цирк. Для этого сложим найденные числовые данные всех выделенных областей и вычтем полученное число из общего количества учащихся класса. Т Ц К = 10 = 14 =

Т Ц К = 10 =14 =

Т Ц К = 10 = 14 = По условию задачи, всего в классе 36 человек, * значит не посетили ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек *

Т Ц К = 10 = 14 = Ответ: Не посетили ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек.

2 этап. Решение задач олимпиады. 1. Каждая команда получит 5 карточек с условиями задач. (На карточке с условием ничего писать нельзя) 2. Решение задач можно писать на черновиках, но при рассказе жюри пользоваться ничем нельзя (заново рисовать круги-решения на специальных бланках) 3. Каждый участник команды может рассказать только одну задачу (исключение составляют команды, где участников меньше 5) Отвечать решения задач могут только участники, на руках у которых закреплен бумажный браслет. Если задача принята, то участник снимает браслет и больше не имеет права отвечать задачи членам жюри, но он продолжает участвовать в решении задач вместе с остальными членами команды

2 этап. Решение задач олимпиады. 5. Если при ответе допущена ошибка, то на обороте карточки записывается штрафное очко (и пока браслет у участника не снимается, с повторным решением может выйти другой «окольцованный» член команды) 6. Карточка с текстом зачтенной задачи передается компьютерщикам (для занесения в электронный протокол) 7. Командам, которые справятся с решением основных задач раньше времени, будут предложены дополнительные задания (по другим темам)

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? М=17 Р=19 И= – 36 = 4 1

В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой? М=20Б= =25 посещают кружки х 20 - х (20-х)+х+(11-х)= х 31- х =25х =6

На полу площадью 12м 2 лежат три ковра: площадь одного 5м 2, другого - 4м 2 и третьего - 3м 2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5м 2, причем 0,5м 2 из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра. Какова площадь пола, не покрытая коврами? 5 3 0,5 0, ,5+1,5+0,5 = ,51,51,51,5 1,51,51,51,5 1,51,51,51,5 0, ,5 1,5 0, =4

Когда-то давно в нашей стране были пионеры и комсомольцы, и они носили соответственно пионерские галстуки и комсомольские значки. В одной экскурсии участвовали семиклассники и восьмиклассники. Все они были либо с комсомольскими значками, либо в пионерских галстуках. Мальчиков было 16, комсомольцев и комсомолок всего 24. Пионерок столько, сколько мальчиков- комсомольцев. Сколько всего ребят участвовало в экскурсии? Мк Мп + Мк + Дк + Дп = Мп Дк Дп Мк = 40

В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в теннис, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и теннисом - шестеро, баскетболом и волейболом - четверо, теннисом и волейболом - четверо. Двое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игр? 5 Т=24 Б=14 В=16 24-(6-х)-х-(4-х)= =14+х х 24+(4+х)+(4-х)+(8+х)=30 32 – 2 = 30 занимаются -х -х - х 14-(6-х)-х-(4-х)= = 4+х 16-(4-х)-х-(4-х)= =8+х х=30 х=-10 Условие противоречиво. Задача не имеет решения !!!

В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в теннис, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и теннисом - шестеро, баскетболом и волейболом - четверо, теннисом и волейболом - четверо. Двое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игр? 5 Т=24 Б=14 В= х = 54 Те, кто ходит ровно в 2 секции посчитаны дважды. Те, кто ходит в 3 секции подсчитаны трижды 32 – 2 = 30 занимаются Условие противоречиво. Задача не имеет решения !!! = – 14 = 40 Те, кто ходит в 3 секции « выброшены» трижды 40+х=30 Не имеет решения в натуральных числах 2 способ

С одной стороны улицы подряд стоят пять домов, каждый своего цвета. В каждом живёт человек, все пять разных национальностей. Каждый человек предпочитает уникальную марку сигарет, напиток и домашнее животное. Кроме того: Англичанин живёт в красном доме. Швед держит собаку. В зелёном доме пьют кофе. Датчанин предпочитает чай. Зелёный дом по соседству слева от белого. Курильщик «Pall Mall» разводит птиц. В жёлтом доме курят «Dunhill». Молоко пьют в доме посередине. Норвежец живет в первом доме. Человек, курящий «Marlboro», живёт рядом с хозяином кошки. Дом, где курят «Dunhill», рядом с тем, где держат лошадь. Любитель «Winfield» пьёт пиво. Немец курит «Rothmans». Норвежец живёт рядом с синим домом. Тот, кто курит «Marlboro», живет рядом с тем, кто пьет воду. Вопрос: У кого живёт рыбка? Задача Эйнштейна

Математическаяэстафета для 7-8 классов для 7-8 классов «Графы в решении логических задач» Математическаяэстафета для 7-8 классов для 7-8 классов «Графы в решении логических задач» 23 октября Школа 870