Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа деревня Ямник Демянского муниципального района Новгородской области. Тема работы: Предмет: математика Вид работы: реферативно - экспериментальный. Автор: Дорожкина Мария и Клокова Анастасия ученицы 8 класса МАОУ СОШ д.Ямник Демянского района Новгородской области. Руководитель: Васильева Светлана Николаевна учитель математики и физики МАОУ СОШ д.Ямник Демянского района Новгородской области. 2011

Оглавление. Введение. Глава 1. Теоретические основы геометрических построений на местности. Равенство треугольников. Подобие треугольников. Соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Свойства прямоугольных треугольников. Глава 2. Практическое решение задач. Измерительные инструменты, используемые при работе на местности. Построения на местности. Решение прикладных задач. Заключение. Используемая литература.

Актуальность 1.Применении знаний по геометрии к решению практических задач. 2.Знание геометрии и умение применять на практике полезно в любой профессии. 3.Практическое применение математики в будущей профессии.

История вопроса. 1.Теоретические сведения по методам решения геометрических задач на местности широко описаны в школьном учебнике Атанасян Л.С. Геометрия Дополнительная литература «Методы геометрических построений» автор Четверухин Н.Ф.. 3. Применение геометрии в различных профессиях - в специальной книге по землеустроительным работам Косякин А.С., Никулин А.С., Смирнов А.С. «Землеустроительные работы». 4. Нестандартные приёмы - пособия по занимательной математике Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. «Примени математику» и Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков». 5.На общеобразовательных сайтах Интеренет -разные способы измерения высоты большого предмета, находить расстояния до недоступной точки.

Цель– практически применить методы решения геометрических задач на местности. Задачи: 1.Обобщение теоретических сведений, позволяющих произвести геометрические построения на местности. 2. Изучить различные методы решения геометрических задач на местности. 3. Экспериментально произвести геометрические построения на местности. Методика исследования и проведения эксперимента: Обобщение теоретических знаний по теме «Треугольники», «Подобие треугольников». Изучение дополнительной литературы по теме эксперимента. Составление плана действий по осуществлению эксперимента построений на местности. Практическое построение на местности (2 урока). Анализ результатов. Систематизация полученных знаний и практического опыта.

Глава 1. Теоретические основы геометрических построений на местности. 1.Равенство треугольников. 1 признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2 признак: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3 признак: Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1.Подобие треугольников. 1 признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. 2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. 3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны

1.Соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы. Пусть AD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла А на гипотенузу с.

1.Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. а 2 + b 2 = c 2 В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

1.Свойства прямоугольных треугольников. 1.У прямоугольного треугольника только один прямой угол, два других его угла острые; 2.Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов; 3.В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета; 4.В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45 градусов; 5.В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы; 6.Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник на два треугольника, подобных исходному; 7.Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике лежит между медианой и высотой и делит угол между ними пополам.

Глава 2. Практическое решение задач. Измерительные инструменты, используемые при работе на местности. 1.Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на местности. 2.Экер – прибор для построения прямых углов на местности. Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Фото 1 «Учимся применять экер для построения прямых углов на местности»

3.Астролябия – прибор для измерения углов на местности. Фото 2 и 3 «Применение астролябии»

4.Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю. 5.Землемерный циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

1.Построения на местности. Задача 1. Проложить прямую. Фото 4-6 «Прокладывание прямой»

Задача 2. Точка пересечения прямых Фото 7-10 «Построение точки пересечения прямых»

Задача 3. Симметрия относительно точки Фото 11 «Симметрия относительно точки»

Задача 4. Параллельная прямая Фото 12 «Строим параллельную прямую»

Задача 5. Нахождение середины отрезка.

Задача 6. Деление отрезка в данном отношении Фото 13 «Деление отрезка на части»

Задача 7. Построение биссектрисы угла Фото 14 «Ура! Мы построили биссектрису угла»

Задача 8. Построение перпендикуляра к прямой. Фото 15 «Построение перпендикуляра к прямой»

Задача 9. Построения под заданным углом Фото 16 «Построение под заданным углом»

Задача 10. Измерение высоты дерева. Фото 17 «Измеряем высоту дерева шестом» Первый способ : D d A C B b ca

Второй способ : Фото 18 «Измеряем высоту дерева по своему росту» А В D E C

Решение прикладных задач. Задачи из учебника геометрии прикладного содержания. 1.Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС = 165 см, ВС = 12 см, AD = 120 см, DE = 4,8 м, l = 2. Решение: Треугольники ABD и EFD подобны по двум углам ( l = 2 по условию, углы с вершинами А и Е прямые). Поэтому АВ /AD= EF /DE откуда EF = 612 см = 6,12 м. Ответ. 6,12 м.

2. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС и углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник A 1 B 1 C 1, подобный треугольнику ABC. Найдите АВ, если АС = 42 м, А 1 С 1 = 6,3 см, А 1 В 1 = 7,2 см. Решение. Из подобия треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 следует, что Ответ. 48 м.

3. На рисунке показано, как можно определить ширину ВВ 1 реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и A 1 B 1 C 1. Определите ВВ 1, если АС = 100 м, АС 1 = 32 м, АВ 1 = 34 м. Решение. Из подобия треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 следует, что Отсюда находим: ВВ 1 = 72,25 м. Ответ. 72,25 м.

Выводы 1.Рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности. 2.Приведено большое количество задач и даны их решения. 3.Приведенные задачи имеют значительный практический интерес. 4.Освоен текстовый редактор Word, графический редактор Paint и PowerPoint. 5.Цель настоящего проекта достигнута практически применили методы решения геометрических задач на местности ; обобщили теоретические сведения; изучили различные методы решения геометрических задач на местности; самым познавательным стало экспериментальное построение различных геометрических задач на местности; приобретён опыт работы с измерительными инструментами – астролябией, экером, вехами.

Используемая литература. 1.Атанасян Л.С. Геометрия – Москва: Просвещение, 2008 г. 2.Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. «Примени математику», М., Наука, Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, Четверухин Н.Ф. «Методы геометрических построений», М., Учпедгиз, Косякин А.С., Никулин А.С., Смирнов А.С. «Землеустроительные работы», М., Недра, 1988.

Спасибо за внимание !