Открытый банк заданий по математике

Найдем отношение объемов Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? V = S o H 13 3 х 1 0 х В 9 8h a 2a2a2a2a 2h 2h 2h 2h aabSsin 2 1 =

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. 3 х 1 0 х В 9 4 Н 3 4 V = S o H

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна. 3 х 1 0 х В 9 5 0, 2 V = S o H aabSsin 2 1 =

3 х 1 0 х В 9 3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен. 2 2 V = S o H 13 ? aabSsin 2 1 =

3 х 1 0 х В 9 4 Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? A F BC D E Найдем отношение объемов V = S o H 13 h 4h4h4h4h

3 х 1 0 х В ?. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. A F BC D E 1 1 ? 1 S О Из АОS по теореме Пифагора найди ребро AS. aabSsin 2 1 = Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности. Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

3 х 1 0 х В В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, сторона основания равна 10. Найдите ее объем. Н V = S o H 13 a S = кв.2

3 х 1 0 х В В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. Н V = S o H 13 a S = кв.2 АВ С D S Из треугольника АВС: 45 0

3 х 1 0 х В Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.. Н S D C B V = S o H 13 ? 6 Из SHG: Из SHA: 36 = ab S пр G A

3 х 1 0 х В 9 4, 5 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. A В С S A S B C V = S o H Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB. Основание – прямоугольный треугольник SCB, высота AS. abS 21= 33 катет катетвысота

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен Найдите объем пирамиды. 3 х 1 0 х В A F BC D E 4 4 S О К V = S o H ?? aabSsin 2 1 = 44 Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников ОК Найдем ОК по теореме ПифагораКО С

Найдем отношение объемов Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC. V пир. = S o H 13 A B C D B1B1 C1C1 D1D1 A1A1 V приз. = S o H h h х 1 0 х В 9 2 2S ABC =

Пирамида AD 1 CB 1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам ABCB 1, D 1 B 1 CC 1, AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1. А объем каждой из них легко посчитать мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB 1. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1. C1C1 A B C D A1A1 B1B1B1B1 D1D1D1D1 Найдем отношение объемов V пир. = S o H 13 V пар. = S o H 4,5 4,5 3 х 1 0 х В 9 1, 5 Четыре пирамиды по углам ABCB 1, D 1 B 1 CC 1, AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 Объем пирамиды АD 1 CB 1 h 2S ABC =

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной центр куба. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 13 3 х 1 0 х В 9 2 h h 21 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D

От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. h Найдем отношение объемов V пир. = S o H 13 V приз. = S o H х 1 0 х В 9 5 0

FEAB CD A BCDE F Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. S У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Найдем отношение объемов V пир. = S o H х 1 0 х В V1V1V1V1 V2V2V2V2 Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. S B D A C O h 21 Точка E – середина ребра SB, значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса). Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD. E N Найдем отношение объемов V пир. = S o H х 1 0 х В 9 3 2S ABC =

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. BSC A М N SА В С М N У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Работать можно с любым из этих чертежей. Найдем отношение объемов V пир. = S o H х 1 0 х В 9 3 ab V2V2V2V2 V1V1V1V1 aabSsin 2 1 =

Найдем объем пирамиды NABC. Сравним его с объемом всей пирамиды SABC, составив отношение. Основания у них одинаковые – треугольник АВС. А высоты разные, сравним их. По т. Фалеса FP:SP = 2:3. Тогда, если SP=h, то FP= h, NO= h Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. S C A BN 1 часть 2 части P Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC. Найдем объем пирамиды NABC. Затем из V SABC (это 15) вычтем V NABC,, найдем V NSAC. O F h х 1 0 х В 9 1 0