Метод мажорант. Школьникам Учителям Землянова Н.В., учитель математики МБОУ «Гимназия 131» г.Барнаул 2012

В материалах, предлагаемых выпускникам для решения на едином государственном экзамене, есть задачи, требующие специальных методов решения, которые, к сожалению, не изучаются в школе. Один из таких методов-метод мажорант. Красивейший способ решения сложных задач.

Содержание. Определение мажоранты функции Примеры функций, имеющих мажоранту Метод мажорант Примеры решения задач методом мажорант

Определение мажоранты функции. Мажорантой функции f(x) на множестве P называется такое число M, что либо f(x) M для всех x є P, либо f(x) M для всех x є P.

Примеры функций, имеющих мажоранту. 1.Тригонометрические функции. f(x)=sin x -1 sin x 1 M=1, M=-1 f(x)=cos x -1 cos x 1 M=1, M=-1 f(x)=sin x f(x)=cos x M M M M

2.Квадратичная функция. f(x)= ax²+bx+c, (p ; n) - вершина параболы M=n=(4ac-b²)/4a f(x)=-x²-2x M M f(x)=x²- 4x+1

3. Функции, содержащие переменную под знаком модуля. f(x)=|g(x)| 0 |g(x)|

4. Функции, содержащие переменную под знаком корня. f(x)= g(x) 0 g(x)

В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту, нужно провести исследование функции, применяя различные методы. При этом можно использовать свойства неравенств, некоторые известные равенства и неравенства, определение возрастающей и убывающей функций и т. д.

Метод мажорант. Теорема1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = A+B равносильно системе уравнений Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)·g(x)= А·B равносильно системе уравнений (при условии, что A>0 и B>0)

Примеры решения задач методом мажорант. 1.Найдите мажоранту и область значения функции (Рассмотрим два способа.) 1. Графический. Очевидно, E (f) =[3;+], М=0 M 2. Аналитический. Оценим выражение 0 x²

Найдите область значения функции. Пример. Решение. 0 3sin ² x sin ² x 4 0 log (1+3sin x) 2 0,25 0,5 1 E(f) = [ 0,25; 1 ] Задания для самостоятельной работы. f(x)= 2 2 log (1+3sin x) 0,5 log (1+3sin x) ) f(x) = x 2) f(x) = 3 7 log lg x 3) f(x) = 8 π ( ( 3sinx-cosx+2)) arctg 1 4

2.Решите уравнения. Задания для самостоятельной работы. Пример. Решение = log (4 -|x|) x -x-x log (4-|x|) = 2 log (4-|x|) = 2 2, то x а) Так как б) 4-|x| 4 a + x Из а), б) получим a +x x x = 0 1) 2 sinxcosx = sin46º 2) с os ² (sinx)=1+ log (x ²- 6x+10) 3) = - 4x ² - x ² 1 4) x+1 x ² - 4x +5 1-x x ² - 4x +29 1,4 =

3. Решите неравенства. Пример. Решение. Правая часть неравенства не больше 1, левая – больше 1, значит, корней нет. Задания для самостоятельной работы. cosx - z ³ y ² + 3 π а) 1 cosx 1 - < cosx - z ³ < - z ³ 0 б) y ² + >1 3 π π 3 1) 2 - 2cosx + y - x ² -1 0 y 2) 2x + 2- x ² 3 x ² -2x+2 2 3) x ² + 4x + 6 y ² - 6y ) cos3x x +1

4.Различные задания Пример. Найти наибольшее целое значение c, при котором решение неравенства ||2x+4|-7|-13 2c ² удовлетворяет условию x є [-37;35]. Решение. -37 x x x x x Для выполнения неравенства, надо, чтобы -132с²54. То есть наибольшее целое с=5. Задания для самостоятельной работы. 1) Найти сумму целых значений функции 2) Из множества значений функции удалили целые числа. Сколько получилось числовых промежутков? 2 f(x)=3 36cos x -12sinx sin2x + cos2x f(x)= 3+ 4arcsin

Пример задания группы С (С 3, ЕГЭ 2011). Решите неравенство Решение. Так как, левая часть неравенства не больше1, а правая - равна 1, то 7 · log (6x-x ² -7) 1 2 -|x- 3| a) 0 < 7 1 -|x-3| б) log (6x-x ² -7)= log (2-(x-3) ² ) log 2 = log (6x-x ² -7) =1 2 7 = 1 -|x- 3| x = 3

Решите самостоятельно задание C3. 1. (2011 г.) cos ²(x+1) · lg(9-2x-x ²) ( ЕГЭ Типовые тестовые задания. Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко) · · 4 > 0 x x x log (x ² -12|x|+37 ) - log (x ² -12|x|+37 ) x ²