Проект ученицы 9 «Б» класса Школы 1254 Авоян Гаяне

1.Понятие движения 1)Отображение плоскости на себяОтображение плоскости на себя 2)Понятие движенияПонятие движения 3)Наложения и движенияНаложения и движения 2. Параллельный перенос и поворот 1)Параллельный переносПараллельный перенос 2)ПоворотПоворот

Если каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, то говорят, что дано отображение плоскости на себя. Примерами отображения плоскости на себя являются осевая и центральная симметрия. ММ1М1 Р а Осевая симметрия МОМ1М1 Центральная симметрия

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством – это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. Т.е. на рисунке 1, где М и N – какие-либо точки, а М 1 и N 1 – симметричные им точки относительно прямой а, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М 1 и N 1. M N M1M1 N1N1 a PP1P1 1 Итак, движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Th При движении отрезок отображается на отрезок. Доказательство: Пусть при заданном движении концы M и N отрезка MN отображаются в точки М 1 и N 1 (рис.1). Докажем, что весь отрезок МN отображается на отрезок М 1 N 1. Пусть Р – произвольная точка отрезка МN, точка Р 1 – точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + РN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то: М 1 N 1 = МN, М 1 Р 1 = МР и N 1 Р 1 = NР. (1) Из равенств (1) получаем, что М 1 Р 1 + Р 1 N 1 = М 1 N 1. Итак, точки отрезка МN отображаются в точки отрезка М 1 N 1. Докажем также, что в каждую точку Р 1 отрезка М 1 N 1 отображается какая- нибудь точка Р отрезка МN. Пусть Р 1 – произвольная точка отрезка М 1 N 1 и точка Р при заданном движении отображается в точку Р 1. Из соотношений (1) и равенства М 1 Р 1 + Р 1 N 1 = М 1 N 1 следует, что МР + РN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Ч.Т.Д. Следствие: При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Нетрудно убедиться и в том, что прямая отображается на прямую, луч – на луч, а угол – на равный ему угол. М1М1 N1N1 M N Р Р1Р1 Рис.1

Наложения – это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах. Утверждение При наложении различные точки отображаются в различные точки. Теорема Любое наложение является движением плоскости. Теорема Любое движение является наложением. Следствие При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Псевдоевклидовы движения

Вращательное движение вокруг точки

Пусть а – данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что вектор ММ 1 равен вектору а (1). Параллельный перенос является движением. M N N1N1 M1M1 а 1

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображением плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что ОМ = ОМ 1 и угол МОМ 1 равен При этом точка О остается на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки. Поворот против часовой стрелки изображен на рисунке 1. О М1М1 М Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.