Автор презентации Батурин Алексей Сергеевич 13 лет. Ученик 7,,Гкласса Средней школы 11. Руководитель: Кудоспаева Н.Н.

Аксиомы Об аксиомах планиметрии

Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение точек и прямых. 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение точек и прямых.

Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали понятие,,лежать между, которое относим к основным понятиям геометрии. Свойство этого понятия выражено в следующей аксиоме: 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Подчеркнем, что, говоря,,точка B лежит между точками А и С, мы имеем в виду, что А,B,С –различные точки прямой и точка B лежит также между С и А. Иногда вместо этих слов мы говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А) или точки А и С лежат. Подчеркнем, что, говоря,,точка B лежит между точками А и С, мы имеем в виду, что А,B,С –различные точки прямой и точка B лежит также между С и А. Иногда вместо этих слов мы говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А) или точки А и С лежат.

Формулировка аксиомы 5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлеж ит ни одному из указанных лучей.

Формулировка аксиомы 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. Прямая а называется границей каждой из указанных полуплоскосте й; ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскосте й.

Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф, то мы говорим, что фигура Ф можно совместить наложением с фигурой Ф, или фигура Ф равна фигуре Ф. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений

7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой- то луч h с началом в точке О, то на луче h существует, и притом только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.

Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф, то мы говорим, что фигура Ф можно совместить наложением с фигурой Ф, или фигура Ф равна фигуре Ф. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений

8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Это означает, что если даны какой- то отрезок АВ и какой-то луч h с началом в точке О, то на луче h существует, и притом только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.

Формулировка аксиомы 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и при том только один. Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то неразвернутый угол СDE, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОА существует, ипритом только один, луч ОВ, такой, что угол CDE равен углу АОВ.

Формулировка аксиомы 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h k двумя способами: 1) так, что луч h совместится лучом h, а луч k- c лучом k ; 2) так, что луч h совместится с лучом k, а луч k- c лучом h

Формулировка аксиомы 11. Любая фигура равна самой себе.

12. Если Фигура Ф равна фигуре Ф, то фигура Ф равна фигуре Ф. 1 1

Формулировка аксиомы 13. Если фигура Ф равна фигуре Ф, а фигура Ф равна фигуре Ф, то фигура Ф равна фигуре Ф

14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длине. 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Систему аксиом планиметрии завершает аксиома параллельных прямых. 16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.