Равномерное прямолинейное движение. Мы уже знаем, что, для того чтобы найти положение тела в какой-то момент времени, нужно знать вектор- перемещения, потому что именно он связан с изменением координат движущегося тела: проекции вектора перемещения точки на координатные оси просто равны изменениям ее координат. Как же найти вектор перемещения? Что для этого нужно знать? Ответ на этот вопрос зависит от того, какой вид движения совершает тело. Рассмотрим сначала самый простой вид движения - прямолинейное равномерное движение.

Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При движении тела вдоль прямой в одном направлении перемещение тела непрерывно возрастает. Чтобы найти перемещение за время t, надо знать, как быстро оно возрастает. Быстрота этого возрастания определяется отношением перемещения к величине промежутка времени t, в течение которого оно произошло. Это отношение называют скоростью движения и обозначают буквой v. Так как перемещение величина векторная, а время скалярная величина, то скорость тоже векторная величина:

Скоростью равномерного, прямолинейного движения тела называют величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Скорость, таким образом, показывает, какое перемещение тело совершает в единицу времени. Следовательно, для того чтобы найти перемещение тела, надо знать его скорость. Тогда перемещение тела можно вычислить по формуле: Вектор перемещения направлен, разумеется, так же, как вектор скорости, потому что время t - величина скалярная. При прямолинейном движении траекторией является прямая линия. Естественно поэтому направить координатную ось вдоль этой прямой. Если, например, речь идет о движении падающего тела, то координатную ось следует направить по вертикали; если рассматривается движение автомобиля по прямой и ровной дороге, то разумно направить вдоль нее и координатную ось.

В этом случае при движении тела будет изменяться только одна координата, например координата х, если выбранную ось обозначить через X. Вдоль этой оси будут направлены и вектор перемещения, и вектор скорости тела. Так как векторы и равны, то равны и их проекции на ось X. Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости: vcp = v Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t: v = s / t Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой: s = v t Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна: vx = v,то есть v > 0 Проекция перемещения на ось ОХ равна: s = vt = x – x0 где x0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени) Уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид: х = x0 + vt Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид: х = x0 - vt

Зависимость скорости, координат и пути от времени Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot. Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение. График зависимости перемещения от времени показан на рис Из графика видно, что проекция скорости равна v = s1 / t1 = tg α где α – угол наклона графика к оси времени. Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости: tg α = v

Зависимость координаты от времени показана на рис Из рисунка видно, что tg α1 > tg α2 следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v1 > v2). tg α3 = v3 < 0 Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть х = х0

Неравномерное прямолинейное движение Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения называют неравномерным или переменным. Средней скоростью vср называется величина, равная отношению перемещения тела r за некоторый промежуток времени t к этому промежутку:

Направление вектора средней скорости vср совпадает с направлением r При неограниченном уменьшении t, vср стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью. Итак, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость vср, когда промежуток времени движения стремится к нулю: Модуль средней скорости определяется как отношение пути S, пройденного телом за некоторый промежуток времени, к этому промежутку:

Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. Поэтому: Мгновенная скорость v есть векторная величина, равная первой производной радиуса - вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения. По мере уменьшение t путь S все больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости: Таким образом, модуль мгновенной скорости v равен первой производной пути по времени :

При неравномерном движении тела его скорость непрерывно изменяется. Как быстро изменяется скорость тела, показывает величина, которая называется ускорением. Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v к интервалу времени t: Мгновенным ускорением а в момент времени t будет предел среднего ускорения: Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. В данной системе отсчета вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие координатные оси (проекциями ах, ау, аz). Составляющая аτ вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке, называется тангенциальным (касательным) ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор аτ направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости (рисунок а) и в противоположную сторону - при убывании скорости (рисунок б).

аб

Тангенциальная составляющая ускорения аτ равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю: Вторая составляющая ускорения, равная: называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют так же центростремительным ускорением). Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Равнопеременное прямолинейное движение Равнопеременным называется движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. на равные величины. Это движение может быть равноускоренным и равнозамедленным. Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости v точки, движение называется равноускоренным. Если направление векторов а и v противоположны, движение называется равнозамедленным. При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению (а = const). При этом среднее ускорение аср равно мгновенному ускорению а вдоль траектории точки. Нормальное ускорение при этом отсутствует ( аn=0 ) Изменение скорости v = v - v0 в течении промежутка времени t = t - t0 при равнопеременном прямолинейном движении равно: v = a·t, или v - v0 = a·(t - t0). Если в момент начала отсчета времени (t0) скорость точки равна v0 (начальная скорость) и ускорение а известно, то скорость v в произвольный момент времени t: v = v0 + a·t. Проекция вектора скорости на ось ОХ связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением: vх = v0х ± aх·t. Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.

Вектор перемещения r точки за промежуток времени t = t - t0 при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а равен: Его проекция на ось ОХ (или перемещение точки вдоль соответствующей оси координат) при t0 = 0 равна: Путь Sx, пройденный точкой за промежуток времени t = t - t0 в равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью v0 и ускорением а, при t0 = 0 равен: Так как координата тела равна х = х0 + S, то уравнение движения тела имеет вид: Возможно так же при решении задач использовать формулу:

Работу выполнил ученик 10 класса Хасимов Юсуф Проверила: Кашина Наталья Вадимовна МКОУ «Кирпичнозаводская СОШ»