Вероятность и геометрия

Классическая вероятностная схема Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого числа опытов следует : 1. Найти число N всех возможных исходов данного испытания ; 2. Найти количество N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие A; 3. Найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события A.

Классическое определение вероятности Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех ( равновозможных между собой ) исходов этого испытания.

Общее правило, для нахождения геометрических вероятностей Если площадь S(A) фигуры A разделить на площадь S(X) фигуры X, которая целиком содержит фигуру A, то получится вероятность того, что случайно выбранная точка фигуры X окажется в фигуре A: P=S(A)/S(X)

Пример 1 Отрезок единичной длины случайным образом разделяют на три отрезка. Какова вероятность того, что из них можно сложить треугольник ?

Построение модели Пронумеруем отрезки слева направо и обозначим их длины за x, y и z. Так как x+y+z=1, то z=1-x-y>0. Значит, x>0, y>0 и при этом x+y0 y>0 x+y

Получим треугольник с вершинами (0;0) (1;0) (0;1) без учета его сторон. Каждому способу деления заданного отрезка на три части x,y,z поставим в соответствие точку (x,y) из треугольника. Выбрав точку (x,y) мы однозначно зададим и разбиение заданного отрезка единичной длины на три отрезка [0;x] [x;x+y] [x+y;1].

Работа с моделью x+y>zx+y>1-x-yx+y>0.5 x+z>yx+1-x-y>yyxy+1-x-y>xx

Вероятность того, что точка окажется окажется в меньшем треугольнике P(A)=0.25

Пример 2 Случайным образом нарисовали треугольник. Какова вероятность того, что он является остроугольным ?

Построение модели Переформулируем задачу : Число 180 случайным образом представили в виде суммы трех положительных слагаемых. Какова вероятность того, что все слагаемые меньше 90?

Пусть 0

Работа с моделью Отметим в нашей модели точки, соответствующие остроугольным треугольникам.x

S(ABC)/S(AOB)=(0.5 AC*BC)/(0.5AC*OB)= BC/OB По теореме Фалеса BC/OB=0,25 P(A)=0.25

Пример 3 Два шпиона решили встретиться у фонтана. Каждый из них может гарантировать только то, что он появится у фонтана с до По инструкции шпион после прихода ждет встречи у фонтана 15 минут и по их истечении ( или ровно в 13:00) уходит. Какова вероятность встречи ?

Построение модели За единицу отсчета возьмем 1 час, а за начало отсчета возьмем 12:00. Пусть x - время прихода первого шпиона, а y - время прихода второго. Тогда ox1, 0 y 1 и точка (x,y) квадрата с вершинами О (0;0) А (0;1) В (1;1) С (1;0) будет соответствовать времени прихода первого и второго шпионов.

Работа с моделью Встреча произойдет, только если время прихода первого шпиона отличается от времени прихода второго не более чем на 15 минут. Т. е.0 x 10 y 1 |y-x| 0.25x-0.25 y x+0.25 Получается часть квадрата ОАВС, лежащая между прямыми y=x-0.25 и y=x+0.25

Незаштрихованная часть состоит из двух прямоугольных треугольников, катеты которых равны 0,75. Значит их площадь равна 0,5625. Т. е. заштрихованная часть составляет 0,4375 от площади всего квадрата. Это и есть искомая вероятность P(A)=0.4375

Презентацию выполнила : Горбунова Елена, ученица 11 Б класса, МОУ « Гимназия 11»