Магические квадраты Автор работы: Казанцев Дмитрий Евгеньевич, ученик 8б класса, МОУ «Средняя общеобразовательная школа п. Витим». Руководитель: Дурягина Валентина Николаевна, учитель математики, МОУ «Средняя общеобразовательная школа п. Витим» 2010г.

Цель работы: Знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и их применение в математике и в её приложениях. Актуальность работы: Развитие познавательного интереса к предмету математики и её истории развития, развитие любознательности и логического мышления.

Краткая аннотация С понятием магического квадрата я встретился при выполнении одной из олимпиадных работ по математике, где в одном из заданий надо было ответить на вопрос: можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел? Изучая дополнительную литературу, заинтересовался историей возникновения, решениями магических квадратов и применениями их в жизни и математики.

Содержание 1. Введение. Историческая справка. 2. Разновидность магических квадратов: 2.1 Квадрат Ло Шу. 2.2 Квадрат, найденный в Кхаджурахо(Индия). 2.3 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай). 2.4 Квадрат Альбрехта Дюрера. 2.5 Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона. 2.6 Дьявольский магический квадрат. 3.Некоторые способы построения магических квадратов. 4.Применения магических квадратов. 5.Заключение. 6.Список литературы.

1.Введение. Историческая справка. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (около 2200 лет до н. э.) из вод Желтой реки (Хуанхэ) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы.

2.Разновидность магических квадратов

2.1 Квадрат Ло Шу. (Китай) Эти знаки известны под названием Ло Шу и равносильны магическому квадрату:

2.2 XI век, г. Кхаджурахо Самый ранний уникальный магический квадрат (Индия )

2.4 Начало ХХ века. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия

2.5 Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел: Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона

2.6 Дьявольский магический квадрат. Это такой магический квадрат, в котором кроме строк, столбцов, основных диагоналей совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях. Такие квадраты называют ещё пандиагональными

Латинские магические квадраты. Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1,2,3,4, …n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными.

3.Некоторые способы построения магических квадратов

Способ Баше (террас). При помощи этого способа составляют магические квадраты из нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т. п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5.

Индийский способ построения магического квадрата 5х5. Авторская работа: Этот способ придуман, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Его суть заключается в 6-ти правилах. Приведём пример построения 49-ти клеточного квадрата. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2. Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх. Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце

Авторская работа Магический квадрат 7х7 способом Баше

Способ поворотов и отражений. Работы автора: Для любого магического квадрата можно построить новые магические квадраты при помощи поворотов на 90, 180,270 градусов. Так же путём осевой симметрии, центральной симметрии из данного квадрата можно получить новые магические квадраты.

4.Применения магических квадратов.

Для экспериментов в сельском хозяйстве. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причём хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок. Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д.(на рис. сорт выделен цветом), При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рис. Этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают: первая – количество кг удобрения первого вида, Вносимого на этот участок, а вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских квадратах. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Старинная занимательная задача Эйлера: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров. кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6х6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?» Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что для 25 офицеров решение есть. На рисунке показано, что чин офицера символизирует цветной кружок в углу каждой из клеток

Познание характера человека: Великий ученый Пифагор, основавший религиозно-филосовское учение, считал, что сущность человека заключается в числе-дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Мой магический квадрат по Пифагору

Расшифровка моего магического квадрата: 1. Характер – «золотая середина», покладистый, спокойный, коммуникабельный. 2. Большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко бывают нервные стрессы Здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег. 5. Сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь. 6. Очень заземлен, тяга к физическому труду, хотя как раз он для них необязателен; желательна умственная деятельность либо занятие искусством. 7.Чем больше работают, тем больше получают впоследствии. 8.Знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов. 9. Должен всю жизнь упорно трудиться, чтобы быть умным.

5.Заключение Мне было интересно составлять магические квадраты по правилам, найденным в дополнительной литературе по математике, узнавать некоторые интересные факты по теме из Интернета. Меня удивило то, что магические квадраты интересны не только школьникам, но и взрослым людям. Я думаю, что данный материал можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью привития познавательного интереса к предмету, развития логического мышления.

6. Литература: 1) Энциклопедический словарь юного математика. М. Издательство «Педагогика», 1985г. 2) Игры и развлечения. М. Издательство «Молодая гвардия»,1989г. 3) История мировой культуры. М. «Изобразительное искусство», 1983г. 4) Энциклопедия для детей. Издательское объединение «Аванта», 2003г. 5) Математические головоломки и развлечения. М. Изд. «Мир», 1971г. 6) Материалы Интернета.