1 ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ

2 Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление – Автоматизация и управление специальность – Управление и информатика в технических системах МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Лекция 15 Примеры статистического использования (продолжение). Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации. Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.

3 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Цель изучения материала: научиться строить статистические модели, изучить способы генерации случайных чисел. Компетенций, формирующиеся в процессе знакомства с материалом: приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии; разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления; использовать современные технологии моделирования систем.

4 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Содержание лекции 15 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Примеры статистического использования (продолжение). Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации. Способы генерации случайных чисел.

5 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Необходимо методом статистического моделирования найти оценку площади фигуры (рис. 4.3), ограниченной осями координат, ординатой α = 1, кривой у = f(α); при этом для определённости предполагается, что 0 f(α) 1 для всех α, 0 α 1.

6 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Рис Геометрическая интерпретация оценки площади фигуры х i+1 хiхi у=f(α) 1 h i 0 α у 1 х i, х i+1

7 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Таким образом, данная задача является чисто детерминированной и её аналитическое решение сводится к вычислению определённого интеграла, т.е. искомая площадь фигуры: Для решения этой детерминированной задачи методом статистического моделирования необходимо построить адекватную стохастическую систему S D, оценки характеристик которой будут совпадать с искомыми в данной детерминированной задаче.

8 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Вариант структурной схемы такой системы SD показан на рис.4.4, где элементы выполняют следующие функции: вычисление В1: hi = f(xi); анализ А: суммирование С: h =; вычисление В2: S = h /N.

9 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Рис Структурная схема системы S D В1В1 CВ2В2 А хiхi х i+1 hi'hi' hi=1hi=1h' S Внешняя среда Е Система S D

10 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Система S D функционирует следующим образом: - получается пара независимых случайных чисел интервала (0, 1), - определяется координата точки (x i, x i+1 ), показанной на рис.4.3, - вычисляется координата x i+1 = f(x i ), - проводится сравнение величин x i и x i+1. Если точка (x i, x i+1 ) попала в площадь фигуры, в том числе и на кривую f(x), то исход испытания считается положительным, т.е. h i = 1, затем суммируем h i, сумму делим на число реализаций. В итоге получим статистическую оценку площади фигуры по заданному числу реализаций N.

11 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Логическая схема моделирующего алгоритма вероятностной системы SD представлена на рис Здесь Y y = f( ) – заданная функция (табличная кривая); N – заданное число реализаций; I i – номер текущей реализации; XI x i, XI1 x i+1, HI h i, S s, SH h = – суммирующая ячейка.

12 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 2. Рис Схема моделирующего алгоритма системы S D

13 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. Необходимо методом статистического моделирования решить следующую задачу. Проводится s = 10 независимых выстрелов по мишени, причём вероятность попадания при одном выстреле задана и равна p. Требуется оценить вероятность того, что число попадания в мишень будет чётным, т.е. 0, 2, 4, 6, 8, 10.

14 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. Данная задача является вероятностной, причём существует её аналитическое решение:.

15 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. В качестве объекта статистического моделирования можно рассмотреть следующую вероятностную систему S P, структура которой представлена на рис. 4.6, где элементы выполняют такие функции: анализ А1: суммирование С: анализ А2:

16 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. Рис Структурная схема системы S P y j =1 y j =0 xixi h i =1 hjhj Внешняя среда Е Система S P A1A1 C A2A2

17 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. Выходным воздействием в данной системе S P является событие чётного числа попаданий в мишень в серии из десяти выстрелов. В качестве оценки выходной характеристики необходимо при числе испытаний (серий выстрелов), равном N, найти вероятность чётного числа попаданий:

18 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. Рис Схема моделирующего алгоритма системы S P

19 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Пример 3. В данном моделирующем алгоритме после ввода исходных данных и реализации операторов цикла происходит обращение к генератору случайных чисел, т.е. получаются значения случайной величины, которые равномерно распределены в интервале (0, 1). Вероятность попадания случайной величины в интервал (0,р), где, равна длине этого отрезка, т.е.. Поэтому при каждом моделировании выстрела полученное случайное число сравнивается с заданной вероятностью р и при регистрируется «попадание в мишень», а в противном случае – «промах». Далее моделируются серии из десяти испытаний каждая, подсчитывается чётное число «попаданий» в каждой серии и находится статистическая оценка искомой характеристики Р(у).

20 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования Примеры статистического использования Примеры. Таким образом, подход при использовании статистического моделирования независимого от природы объекта исследования (будет ли он детерминированным или стохастическим) является общим, причём при статистическом моделировании детерминированных систем (система S D в примере 2) необходимо предварительно построить стохастическую систему, выходные характеристики которой позволяют оценить искомые.

21 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов – учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от - класса объекта моделирования, - вида оцениваемых характеристик, - необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел.

22 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел На практике используется три основных способа генерации случайных чисел: - аппаратный (физический), - табличный (файловый), - алгоритмический (программный).

23 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел При аппаратном способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой – генератором (датчиком) случайных чисел, служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах.

24 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Структурная схема аппаратного генератора случайных чисел приведена на рис. 4.8, а. ИШ – источник шума; КС – ключевая схема; ФИ – формирователь импульсов; ПС – пересчетная схема.

25 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Рис Аппаратный способ получения случайных чисел UnUn 0 t i t i+l t t t иф(t)иф(t) ик(t)ик(t) ис(t)ис(t) иш(t)иш(t) t хi(T)хi(T) иф(t)иф(t) ик(t)ик(t) ис(t)ис(t) ИШ КС ФИ ПС t

26 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел При усилении шумов на выходе ИШ получается напряжение u ш (t), которое является случайным процессом, показанным на временной диаграмме (рис. 4.8, б). Причем отрезок шумовой реализации u к (t), сформированный на интервале времени (0, Т) с помощью КС, содержит случайное число выбросов. Сравнение напряжения u к (t) с пороговым U п позволяет сформировать на выходе ФИ серию импульсов u ф (t). Тогда на выходе ПС может быть получена последовательность случайных чисел x i (t).

27 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Аппаратный способ получения случайных чисел - не гарантирует качество последовательности непосредственно во время моделирования системы S на ЭВМ, - не позволяет повторно получать при моделировании одинаковые последовательности чисел.

28 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Если случайные числа, оформленные в виде таблицы, помещать во внешнюю или оперативную память ЭВМ, предварительно сформировав из них соответствующий файл (массив чисел), то такой способ будет называться табличным. Этот способ рационально использовать при сравнительно небольшом объеме таблицы и соответственно файла чисел, тогда для хранения можно применять оперативную память. Хранение файла во внешней памяти вызывает увеличение затрат машинного времени

29 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Алгоритмический способ получения последовательностей случайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникновения потребностей при моделировании системы на ЭВМ.

30 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Достоинства и недостатки трех перечисленных способов получения случайных чисел для сравнения представлены в табл Из этой таблицы видно, что алгоритмический способ получения случайных чисел наиболее рационален на практике при моделировании систем на универсальных ЭВМ.

31 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Таблица 4.1 СпособДостоинстваНедостатки АппаратныйЗапас чисел не ограничен. Расходуется мало операций вычислительной машины. Не занимает место в памяти машины. Требуется периодическая проверка. Нельзя воспроизводить последовательности. Используется специальное устройство. Необходимы меры по обеспечению стабильности.

32 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Продолжение табл. 4.1 СпособДостоинстваНедостатки ТабличныйТребуется однократная проверка. Можно воспроизводить последовательности. Запас чисел ограничен. Занимает много места в оперативной памяти или необходимо время на обращение к внешней памяти.

33 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Способы генерации случайных чисел Окончание табл. 4.1 СпособДостоинстваНедостатки Алгорит- мический Требуется однократная проверка. Можно многократно воспроизводить последовательности чисел. Занимает мало места в памяти машины. Не используются внешние устройства. Запас чисел последовательности ограничен ее периодом. Существенные затраты машинного времени.

34 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Выводы и заключение по лекции: научились строить статистические модели, изучили способы генерации случайных чисел.

35 Раздел 4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации Перечень источников: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, с. Список дополнительной литературы по теме: 3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учебное пособие для втузов. М.: Высш. шк., с.: ил. 4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука с. 5. Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики/ Пер. с чешск., Предисл. Ю.Н. Тюрина, Д.С Шмерлинга. М.: Финансы и статистика, с.: ил.