Магические квадраты Работу выполнил ученик 7 д класса Ондар Монге Учитель :Леонтьева Е.И.

Магические квадраты Цель: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления Задачи: -Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов -изучить известные способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты План:Введение 1.История появления магических квадратов 2.Способы заполнения квадратов 3.Выводы Используемые источники

Введение Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу. Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу. Задача:заполнить квадрат 3*3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Магические квадраты 1. История появления магических квадратов Магическим квадратам была посвящена обширная литература

Магические квадраты Магический квадрат, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магические квадраты Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю ( ок до н.э. ) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло –шу и равносильны квадрату, изображенному на рис.1,б.

Магические квадраты В 11 в. О магических квадратах узнали и в Индии, а затем в Японии, в 15 в. о магических квадратах узнали европейцы.

Магические квадраты Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1.Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Магические квадраты Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты. В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Магические квадраты 2. Способы заполнения магических квадратов: Способ заполнения квадрата зависит от его порядка

Магические квадраты Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера.

Магические квадраты Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5- го порядка ( рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево.

Магические квадраты Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку ниже.

Магические квадраты Метод Ф.де ла Ира ( ) основан на двух первоначальных квадратах.

Магические квадраты На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка.В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали,идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0,5,10,15,20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат.

Магические квадраты Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры

Магические квадраты Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на рисунке.

Магические квадраты Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу – вверх -направо целыми числами от 1 до n последовательно. Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку. 2

Выводы 1. Магический квадрат - древнекитайского происхождения. 2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет. 3. Способ заполнения магического квадрата,зависит от его порядка. 4. Для квадратов нечетного порядка существует 3 способа заполнения:метод Ф.де ла Ира, метод А.де ла Лубера и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

Литература: s/software/kvadrat.html И. Я. Депман,Н.Я. Виленкин.Учебник математики.Москва.Просвещение.1989 г Энциклопедический словарь юного математика.М., «Педагогика», 1989 г.

Спасибо за внимание!