Параметр в заданиях ГИА по математике Выполнили Деменкова Юлия и Жаворонкова Анастасия ученицы 9 «В» класса МАОУ «Лицей 62»

Задачи с параметром - одна из самых интересных и многогранных тем в математике. В школьной программе они рассматриваются как задания повышенной сложности. Умение быстро, рационально и правильно решать нестандартные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.

Объект исследования: уравнения и неравенства с параметром. Предмет исследования: методы решения (аналитический и графический) уравнений и неравенств, содержащих параметр. Цель проекта: узнать самим и научить других различным способам решения.

Задачи исследования: 1. Провести анализ литературы по данной проблеме. 2. Систематизировать различные методы решения. Методы исследования: -теоретические (анализ, обобщение) -эмпирический (анкетирование) Практическая значимость: создание презентации для широкого пользования учащимися и учителями.

Социологическое исследование. Осенью 2011 года мы провели социологический опрос. Решили выяснить, будут ли выпускники 2012 года решать на ГИА и ЕГЭ по математике задания с параметром.

Из 180 респондентов 135 (т.е. 75%) сообщили, что не будут решать задания такого типа, а постараются лучше решить часть В. 21 человек (или 12%) твердо заявили, что будут решать задания с параметром. А остальные 24 человека (13%) попытаются хотя бы попробовать решить такое задание.

«Почему вы не будете решать задачи с параметром?»

Результаты нашего исследования неутешительные. К сожалению, учащиеся выпускных классов не до конца понимают, что каждое невыполненное задание на экзамене лишает их возможности получить высокие баллы и быть конкурентно способными на вступительных экзаменах в ВУЗы. Осознание приходит слишком поздно. В связи с этим мы и решили изучить задания последних лет с параметрами на ГИА по математике.

Решение задач с параметром аналитически

1. Найдите значение p при которых парабола касается оси х. Для каждого значения p определите координаты точки касания. Решение и ответ Парабола касается оси х, если квадратный трехчлен имеет единственный корень. Следовательно его дискриминант должен обратиться в нуль. Подставляя значения букв p, находим координаты точек касания с осью оХ. При p=20 точка касания (5;0); при p=-20 – точка касания (-5;0)

2. Найдите все значения а, при которых, неравенство не имеет решений. Решение и ответ График функции -парабола, ветви которой направлены вверх. Значит данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, когда эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным.

3. Прямая касается окружности в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания. Решение и ответ 1) Найдем значения b, при которых система имеет единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение

Решение и ответ 2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем: Решив уравнение, получим 3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение При b=-10 получим Этот корень не удовлетворяет условию задачи. При b=10 получим Найдем соответствующее значение у: Координаты точки касания (3;1).

4. Парабола проходит через точки А(0;-4), В(-1; -11), С(4;4). Найдите координаты ее вершины. Решение и ответ 1) Найдем коэффициенты a, b и c в уравнении параболы Парабола проходит через точку А(0;-4), значит, с=-4. Подставим координаты точек В и С в уравнение Получим систему уравнений

Решаем систему Решение и ответ Отсюда: а=-1, b=6.Уравнение параболы имеет вид 2) Найдем координаты вершины:

5. При каких значениях m уравнение имеет два различных корня? Решение и ответ 1)Представим уравнение в виде Отсюда Таким образом, при любом значении m данное уравнение имеет корень, равный 0. 2) Рассмотрим уравнение. Возможны два случая

Решение и ответ При получаем полное квадратное уравнение. Если его дискриминант равен нулю, то оно имеет единственный корень, а уравнение два корня. Имеем Таким образом, при исходное уравнение имеет два различных корня. При получаем неполное квадратное уравнение,корни которого 0 и -10. Таким образом. При уравнение также имеет два различных корня. Ответ: при и

6. При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=2, выражение принимает наименьшее значение? Решение и ответ 1)Выразим из равенства m+n=2 одну переменную через другую, например, переменную m через n: m=2-n. Подставим полученное выражение в данное: 2) Функция принимает наименьшее значение при ; воспользовавшись этой формулой, получим Ответ: при

7Найдите все отрицательные значения m, при которых система уравнений не имеет решений. Решение и ответ 1)Подставим у=1-х в уравнение, получим квадратное уравнение относительно х: 2) Найдем значения m, при которых это уравнение не имеет решений: Таким образом, система не имеет решений при Учитывая условие m

8.При каких значениях p система неравенств имеет решения? Решение и ответ 1.Преобразовав каждое неравенство, получим систему 2. Система имеет решения, если К этому выводу легко придти с помощью координатной прямой. Отсюда Ответ: при х 53-р

9.При каких значениях n решением неравенства является любое число? Решение и ответ 1.Так как ветви параболы направлены вверх. То она должна быть расположена выше оси Ох или касаться ее. 2. Поэтому Отсюда Ответ: при х

10.При каких отрицательных значениях k прямая y=kx-4 пересекает параболу в двух точках? Решение и ответ 1.Прямая у=кх-4 пересекает параболу в двух точках, если уравнение имеет два решения, то есть дискриминант уравнения больше нуля. 2. Имеем: отсюда Так как k- отрицательно, то Ответ: при

Решение задач с параметром графически

11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции Решение и ответ Построим график заданной функции У Х О

Решение и ответ У Х О Прямая y=kx пересекает в трех различных точках этот график, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (-3, -2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым y=3x+7 и y=3x-11

Решение и ответ У Х О Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (-3,-2): -2=-3k k=2/3. Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y=3x+7, равен 3. Прямая y=kx имеет с графиком заданной функции три общие точки при

12. Постройте график функции При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки? Решение и ответ Построим график заданной функции

Решение и ответ Прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки при

13. Постройте график функции И определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение и ответ Построим график заданной функции

Решение и ответ Преобразуем дробь Ответ: k=1

14. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5;-6) и B(-5;а) пересекает прямую 2х-у=-3? Решение и ответ Построим график функции У Х Точки А и В лежат на вертикальной прямой Отрезок АВ пересекает эту прямую в том случае, когда точка В(-5;а) лежит ниже этой прямой, то есть когда выполняется неравенство

Заключение. Работая над проектом, мы поняли, что, действительно, задания, содержащие параметр, требуют не только больших умственных усилий, но и терпения и трудолюбия. Сейчас нам хочется вспомнить слова Бориса Пастернака: «Во всем мне хочется дойти до самой сути». Что-то удается, а что-то и нет. Но ведь мы еще только учимся, поэтому чудесная радость творчества и стимул к дальнейшим поискам и открытиям у нас еще впереди.

Удачи на экзаменах в ГИА-2012!

Спасибо за внимание!