1 Теорема Пифагора

2

3 Содержание 1. Страницы из жизни Пифагора 2. Теорема Пифагора (Формулировка 1) 3. Некоторые способы ее доказательства 4. Теорема Пифагора (Формулировка 2) 5. Задачи 6. Обратная теореме Пифагора 7. История теоремы 8. Применение теоремы 9. В заключении …

4 Страницы из жизни Пифагора Пифагор (ок. 569 – ок. 475 до н.э.) Родился на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18–20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса (Греческий купец, живший в Милете, греческом полисе. В своих путешествиях по торговым делам посетил Египет, где и познакомился с математикой. Фалес считается вообще первым ученым. Он пытался объяснить мироустройство, дать разумные, логические объяснения явлений, а в математике выдвинул требование доказательства высказанных положений), который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем были Вавилон, Индия... По возвращении на Самос Пифагор основал свою школу, но затем покинул остров. В южноиталийском г. Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно и научной школой, и политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался, чуть ли не божеством... В школе Пифагора рассматривались четыре mathema (науки): арифметика, музыка (гармония), геометрия и астрономия с астрологией. Пифагорейцы считали, что в основе всего лежат числа и гармония, ими поддерживаемая, но что все в математике нужно доказывать. Изучению математики придавался мистический характер, что не помешало найти доказательство теоремы Пифагора, а из нее получить (доказать!) иррациональность корня из двух! Это были великие математические открытия... Политическая деятельность пифагорейцев, в конце концов, привела к краху – после 30-летнего существования союза Пифагору с учениками пришлось уехать в г. Тарент, а потом в г. Месапонт. Здесь почти 95-летний Пифагор и погиб в одной из ночных стычек. Так закончилась легендарная жизнь первого математика!..

5 Теорема Пифагора (Формулировка 1) Теорема Пифагора (Формулировка 1) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

6 Доказательство из учебника Атанасяна Дано: прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с Док-ть: Док-во: достроим треугольник до квадрата со стороной a+b S= = S= = = =>

7 Доказательство с помощью подобия треугольников СН – высота из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу. a' и b' проекции катетов a и b на гипотенузу => a' = a cos B, a = c cos B, b' = b cos A, b = c cos A => =>=>

8 Доказательство с помощью векторов

9 Теорема Пифагора (Формулировка 2) Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

10

11 Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами. Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами.

12 Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника. Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника.

13

14 На сторонах прямоугольного треугольника построены полуокружности. Площади образовавшихся луночек равны 9 и 4. Найдите площадь треугольника. Задача 1

15 Решение задачи Дано:,.Найти:Решение:Ответ:

16 Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? Задача 2

17 Решение Дано: АВС – прямоугольный треугольник; АС+АВ=10 чи; ВС=3 чи. АС+АВ=10 чи; ВС=3 чи. Найти: АС=? Решение: (по Т. Пифагора)=> пусть АС=х чи, тогда АВ=10-х (АВ=10-АС), ВС=3 чи. (чи) (чи) Ответ: Высота бамбука после Ответ: Высота бамбука после сгибания равна 4,55 чи. сгибания равна 4,55 чи.

18 Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

19 Доказательство Дано: треугольник ABC; Дано: треугольник ABC; Док-ть: Док-ть: Док-во: Р/м - прямоугольный Док-во: Р/м - прямоугольный =>

20 Прямоугольные треугольники, длины сторон которых – целые числа, называются Пифагоровыми Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется Египетским тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению - Пифагоровыми

21 Из истории теоремы О треугольнике со сторонами 3, 4, 5 ( )– говорится в папирусе (2000 г. до н. э.). Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обнаружили и на вавилонских клинописных табличках, и в древнекитайских и древнеиндийских трактатах.

22 Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Посмотри!

23 Расстояние между двумя точками на плоскости

24 Теорема Пифагора в пространстве Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

25 Расстояние между двумя точками в пространстве

26

27 Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в ее далекий век.