Бийский лицей Алтайского края

Алгебра 11 класс Комплексные числа

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа! Свободные, бесплотные как тени, Вы радугой связующей повисли К раздумиям с вершины вдохновенья. Валерий Яковлевич Брюсов (русский писатель )

Историческая справка Итальянский математик Джерсламс Кардано ( ), решая задачу о представлении числа 10 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система не имеет действительных решений. Величины, квадрат которых равен отрицательному числу Кардано назвал «софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной»

Основатели теории комплексных чисел Бомбелли -итальянский алгебраист в 1572г. ввёл правила арифметических действий Р. Декарт- французкий математик и философ в 1637г. Дал название «мнимые числа» Эйлер -русский математик, щвейцарец по происхождению, ввёл символ i, а в 1748г. нашел формулу, носящую теперь его имя. из формулы получается таинственное равенство единения арифметики, алгебры, геометрии и анализа. К.Гаусс в 1799г. доказал основную теорему алгебры, в 1831г. предложил геометрическую интерпретацию. Независимо от него датчанином Весселем (1797) и французом Аргоном (1806) предложено геометрическое толкование комплексных чисел

Словарь терминов Комплексный-лат. составной, сложный. Термин введён Гауссом i-первая буква французского слова imaginaire, мнимый Инверсия, inversio - лат. переворачивание

Цель занятия: повторение и обобщение знаний по теме; с выходом на ознакомление с теорией функций комплексного переменного. План работы на уроке: 1 этап 1 этап - повторение вопросов теории 2 этап - вычислительная работа 3 этап 3 этап - практическая работа, выход на новый материал 4 этап 4 этап – итоговый контроль *

Этап 1.1 Работа в парах (устно) 1)Сформулируйте определение комплексного числа. 2)Как изображается комплексное число на плоскости? 3)Как вычислить модуль комплексного числа? 4)Что называется аргументом? 5) В каких границах заключен главный аргумент? 6) Как записать число в тригонометрической форме? 7) Какое число называется сопряженным? Свойство сопряженных чисел? 8) Запишите теоремы о модуле и аргументе 9) Формула Муавра для Z в степени n

Этап 1.2. Основные определения Число вида z=a+bi называется комплексным, а и b-действительные числа, i-мнимая единица Re z=a, Im z=b Модулем комплексного числа называется Аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением полуоси ОХ и радиус-вектором ОМ, М(а,b) Главный аргумент arg z заключен в границах Тригонометрическая форма комплексного числа

Этап 1.3. Основные формулы

Этап 2.1. Выполните действия, ответы запишите в тетрадь 1) (3+2i)+3(-1+3i) 2) i-2-(6-5i) 3) (1+i)(1-i) 4) 5) 6) Разложите на множители в комплексных числах:

Этап 2.2. Проверь себя! 1) 11i 2) -8+6i 3) 2 4) –i, I 5) -3i 6) -4 7)(x-i)(x+i) 8)(a+2bi)(a-2bi) 9) (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)

Этап 2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа Изобразите комплексное число на плоскости z=-2+2i Запишите данное число в тригонометрической форме

Этап 2.4. Решите задачу различными способами в алгебраической и тригонометрической форме

Этап 2.5. Указания к решению. 1 способ. Если z=x+iy, то получаем уравнение 3x+3yi-x+yi=-4+8i, x+2yi=-2+4i, Используем условие равенства комплексных чисел, получаем, что х=-2, у=2. При возведении в квадрат, получаем число -8i, которое возводим в куб. Ответ: 512i 2 способ. Представленное в тригонометрической форме число возвести по формуле Муавра в 6-ю степень. *

Этап 3.1. Геометрическое место точек Изобразить на плоскости ГМТ, удовлетворяющих условиям:

Этап Полученные ГМТ. 1. Окружность с центром (0;-1) и радиусом 1,5 2. Полуплоскость у2. 3. Угол, заключенный между заданными лучами. 4. Прямые у=х и у=-х. 5. Точки, расположенные в вершинах правильного 6-тиугольника с центром (0;0). Модуль равен 1. Простейший аргумент

Этап Решения задач.

Этап 3.3. Функции комплексного переменного Задайте условиями четверть круга с центром в точке (0;0), радиусом 2. Выполните преобразования и постройте ГМТ w, удовлетворяющее условию: Выполните: I вариант - а, в, д II вариант - б, г, д.

Этап Решения задач.

Этап Решения задач. **

Этап 4.1. Итоговый тест. Проверь себя! ( «да» или «нет») 1.Число 1+i является действительным? 2.-2(cos90 0 +i sin90 0 )-является тригонометрической формой комплексного числа? 3.Многочлен (х+4) можно разложить на множители в комплексных числах? 4.Если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным? 5. Число имеет аргумент равный /3 ?

Этап 4.2. Ответы. 1. Нет 2. Нет 3. Да 4. Да 5. Нет *

Молодцы! Спасибо за хорошую работу на уроке!

Урок подготовлен и проведен учителем математики высшей категории КГОУ «Бийский лицей Алтайского края» Безкишкиной Мариной Васильевной для слушателей курсов повышения квалификации БФАКИПКРО и студентов ФМФ БГПУ им. В.М.Шукшина 2007г.