РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Содержание: Глава I. Модуль. Общие сведения. 1.Модуль. Общие сведения. Определения, свойства, геометрический смысл, преобразование выражений, содержащих модуль. 2. Решение уравнений, содержащих модуль (аналитически). 3. Решение неравенств, содержащих модуль. 4. Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Глава II. Построение графиков функций, содержащих модули. 1. Построение графика функции y = f (|x|). 2. Построение графика функции y = |f(х)|. 3. Построение графика функции y = |f(|х|)|. 4. Решение уравнений и неравенств графическим способом. Глава III. Неравенства с двумя переменными, содержащие модуль на координатной плоскости. 1. Геометрическая интерпретация уравнений вида /x-a/+/x-b/=c /x-a/-/x-b/=c. 2. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами.

Занятие 1. Модуль: общие сведения. Определения, свойства, геометрический смысл. Цели: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль. Ход занятия: 1.Лекция. МодульМодуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля: Из определения следует, что для любого действительного числа a: а, если а>0 |a|= 0, если а=0 -а, если а

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т.д. Модуль объемного сжатия (в физике) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

,так как Примеры: Геометрическое толкование: каждому действительному числу можно поставить в соответствии точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величи6на неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа a будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изображающей число. xa-a0 |-a||a|

2. Решение упражнений. 1. Упростите выражение: 2. Упростите выражение: 3. Доказать, что данное выражение – целое число:

Вариант – 1 1. Укажите наименьшее по модулю число. а) – 13,97; б) 6,3; в) 53,8; г) – Вычислите | 5.2 – 7.7 | а) – 2,5; б) 2,5; в) 5; г) 1,1. 3. Вычислите (| | + | - 2.6|) : | - 9 | а) 13; б) – 1,1; в) 5; г) 1,1. 4. Вычислите | | : | | + | - 3 | : | 2 | а) -7,5; б) 3,5; в) 6,5; г) - 6,5. 5. Решите уравнение 2| x – 3 | = 5 а) 5,5 и - 5,5; б) 0,5 и - 0,5; в) 5,5 и 0,5;г) 3,5 и – 3,5. 3. Проверьте свои знания по теме «Модуль» Вариант – 2 1.Укажите наибольшее по модулю число. а) – 91,3; б) 10,8;в) – 3 ; г) Вычислите | 8,1 – 9,7 | а) – 1,6; б) 17,8;в) 1,6;г) – 17,8. 3.Вычислите (| - 14,5 | - | - 4,1|) : | - 8 | а) 1,3; б) – 1,3;в) 1,6;г) Вычислите | - 7,2 | : | - 0,8 | + | 3 | : | - 2 | а) 6,5; б) 10,5;в) - 10,5; г) 7,5. 5. Решите уравнение 2| 3 - х | = 7 а) – 0,5 и 0,5; б)- 0,5 и 6,5; в) - 6,5 и 0,5;г) - 6,5 и 6,5. Ответы: Вариант – 1 1.г, 2.б, 3г, 4.в, 5.в Вариант – 2 1.б, 2.в, 3.а, 4.б, 5.б

Занятие 2. Решение уравнений, содержащих модуль(аналитически) Цели: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль. Ход работы: I. Фронтальный опрос. 1. Дайте определение модуля числа. 2. Дайте геометрическое истолкование модуля. 3. Может ли быть отрицательным значением суммы 2+|x|? 4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x|-|x| ? 5. Как сравниваются два отрицательных числа?

2. Устная работа. Раскрыть модуль: 1)|π - 3|; 2)| |; 3)| |; 4)| |; 5)|х 4 +1|; 6)|х 2 |; 7)|х 2 +3х-4|; 8) 9) 10)

3. Объяснение нового материала Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины: 1. Уравнения вида |f(х)|=a, где a0. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений f(х)=а и f(х)=-а. Записывается это так: f(х)=а f(х)=-а.

Пример 1. |х-8|=5. По определению модуля имеем совокупность уравнений Х-8=5 Х-8=-5. Откуда х=13, х=3. Ответ: 3;13. Некоторые уравнения и неравенства с модулем решаются проще с помощью геометрических соображений. |a-b|-это расстояние между a и b. Решим предыдущее уравнение |х-8|=5. Ответ: 3;13. Пример 2. Рассмотрим уравнение |2х-3|=4. Решить самостоятельно x x73 Решение на основе геометрической интерпретации На расстоянии 4 от 3 лежат две точки -1 и 7, а 2х есть одна из них. Следовательно, 2х=-1, или 2х=7, Х=-0,5. Х=3.5 Ответ: -0.5; 3,5.

2. Уравнение вида f (|x|)=а. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем: f(х)=а; х0, F(-х)=а; х0 Пример 3. Решить уравнение х 2 -|х|-6=0. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Решим первую систему уравнений: Решим вторую систему уравнений: Ответ: -3;3.

3. Решение уравнений вида |f 1 (x)|+ |f 2 (x)|+…+ |f n (x)|=g(x) Решение. Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции f i (x) (i=1,2,,,,n) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций f i (x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению. Методические рекомендации. Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм. Пусть дано уравнение F(x)=0 такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |f 1 (x)|, |f 2 (x)|,…, |f n (x)| 1.Решают каждое из уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0,…f n (x)=0 2. Вся координатная ось разбита на некоторое число промежутков. 3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильно исходному уравнению на этом промежутке. 4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается. 5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. 6. Все корни уравнения F(х)=0 получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.

Пример 4. 2|х-2|-3|x+4|=1. Решение. Для освобождения от знаков модуля разобьем числовую прямую на три промежутка Решение данного уравнения сводится к решению трех систем: x2-4 Ответ: -15; Закрепление. Задание: Решить самостоятельно(двумя способами): Ответ:

ЦЕЛИ: познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений. ХОД ЗАНЯТИЯ: Занятие 3. Решение неравенств, содержащих модуль. Методические рекомендации Опираясь на повторенный материал, рассмотреть решение неравенства -аа А) Б) Этому неравенству удовлетворяют точки двух лучей: -аа

I. Объяснение нового материала 1. Решение неравенств вида |f(x)|a и |f(x)| |g(x)| Напомним, что если a>b, a>0, b>0, то a 2 >b 2. Верно и обратное утверждение, если a 2 >b 2, a>0, b>0б то a>b. Из этих свойств следует, что неравенства |f(x)|a (a0; при a

2. Решение неравенствa вида |f(x)| g(x) и |f(x)| g(x) Неравенство равносильно системе неравенств: Пример 2. Решением неравенства (1) является Решением исходного неравенства является промежуток Ответ: Аналогичные рассуждения верны и для неравенства |f(x)| g(x). Неравенство |f(x)| g(x) выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x)

2. ТЕСТ-ЗАДАНИЕ Решение уравнений и неравенств. А.Д. Б. В.Е. Г.

ЦЕЛИ: продолжить решение задач по изучаемой теме; рассмотреть решение более сложных упражнений; проверить усвоение учащимися изученного материала. ХОД ЗАНЯТИЯ: Занятие 4. Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. I. Решение упражнений. Пример 1. Решить уравнение ||||x|-|-2|-1|-2|=2. Решение. По определению абсолютной величины, имеем: Решим первое уравнение: Решим второе уравнение: Тогда: Откуда: Ответ:

Пример 2. Решить неравенство: Воспользуемся соотношением (1): Ответ:

Метод введение новой переменной. Пример 3. Решить уравнение: Решение: пусть |x+1|=y, тогда |2-y|=3 Вернемся к замене: Ответ: -6, 4

Вариант 1.Вариант | 3 – 3x | = x + 5;1. | 6x – 24| = x + 1; 2. 3x – 2| x | = 4;2. | 2 – 2x | = 3 + x; 3. | 7x + 1 | = 2x – 6;3. 10x – 3| x | = 7. Ответы: Вариант х 1 = - 0,5; х 2 = 42. х = 4 3. нет решений Вариант х = 52. х 1 = 5; х 2 = - 1/3 3. х = 1 Можно решить уравнение аналитически НА СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ. Занятие 1-3. Построение графиков функций: y=f(|x|), y=|f(x)|, y=|f|x|| ЦЕЛЬ: научить учащихся строить графики, содержащие модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений. Методические рекомендации: Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научить строить такие графики, надо владеть приемами построения графиками элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

Ход занятия. 1. Объяснение нового материала. Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат. Если в модуль берется вся функция, график отражается в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс.

1.

2.Рассмотрим функцию у = | x | и построим ее график. y = x, если x>0 y = 0, если x=0 y = - x, если x

y 1 01x Установив закономерность, постройте графики функций: 3.

y 1 01x Установив закономерность, постройте графики функций 4.

5.Примеры построения графиков: 1. f ( x )= | x1|. Вычисляя значение функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых (см. рис. 1). 2. f ( x ) =| x 1|+| x 2 |. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 0, 1, 2, 3, 4 получаем график, состоящий из трех отрезков прямых (см. рис. 2). 3. f ( x ) =| x 1|+| x 2 |+| x 3 |. Для построения графика «по отрезкам», вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. 3). 4. f ( x ) =| x 1|| x 2 |. График разности модулей строится аналогично (см. рис. 4).

6. Построить график функции у = | x 2 – 6x + 3 | При построении этого графика можно использовать принцип «зеркального отражения». Строим параболу у = x 2 – 6x + 3 по всем правилам: х 0 = 3, у 0 = 9 – = - 6, А (3; - 6) вершина параболы, ветви направлены вверх. Строим параболу и отображаем часть графика, расположенного ниже оси Ох, в верхнюю полуплоскость.

7. Построить график функции у = | x 2 – 6|x| + 3 | Шаг 1 Строим параболу у = x 2 – 6x + 3 по всем правилам Шаг 2 Если в модуль берется аргумент функции, график будет симметричен относительно оси ординат Шаг 3 Если в модуль берутся значения функции, график будет симметричен относительно оси абсцисс

Решить уравнения х 2 = | 2 - х| |x 2 -3x|=2x-4 x 2 +|x-1|-5=0. !!! Придумать и решить аналогичные уравнения 2. Попробуйте решить самостоятельно!

Занятие 4. ЦЕЛЬ: научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль, графическим способом. Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики функций, составляющих уравнение. В случае, если графики пересекутся, абсциссы точек пересечения данных графиков будут являться корнями уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Графический способ определения числа корней уравнения является более удобным, чем аналитический. Решение уравнений и неравенств графическим способом Методические рекомендации: НА СОДЕРЖАНИЕ

y x ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ (линейное) 1.|х+3|=|x-4| Построим графики функций: у =|х+3| и у =|x-4|. Абсцисса точки пересечения графиков является корнем уравнения Ответ: х=0,5 0,5 1. Объяснение нового материала.

2. Сколько корней имеет уравнение |x+3|-| x 2 – 6|x| + 3 |=0 ? Преобразуем уравнение: |x+3|=| x 2 – 6|x| + 3 | Построим графики функций у=|x+3| и у = | x 2 – 6|x| + 3 | Найдем количество точек пересечения. -3 у х 3

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ и ПАРАМЕТРЫ. 3. Решить уравнение: |x - a| = | x - 4| Решение: Строим графики функций y =|x - a| и y = |x - 4|. При движении мы будем наблюдать два случая: 1.Построенные графики совпали. При a =4 решением уравнения служат все действительные числа. 2. Данные графики имеют одну точку пересечения. х = ( а + 4):2. Ответ: если а = 4,то х - любое число; если а 4, то х = ( a + 4) : 2

2. Самостоятельная работа Вариант АВариант ВВариант С Сколько корней имеют уравнения 1.|x-5| = x 2.|2x-4| = |4-x| 3.|x+1| = |x 2 -3| Решите уравнения 1.|2x-4| = 4-x 2.-2x 2 = |x+1| Найдите наименьший корень уравнения 1.|x+1| = |x 2 -3| Найдите произведение корней уравнения на их количество 1.-2x 2 = |x+1| 2.|x+4| = |x-2| 3.При каком значении параметра a уравнение имеет четыре корня. |x 2 +2|x|-5| =a ОТВЕТЫ 1. 2; 2. 2; и ; 2. Ø; a [5;6]

ГЛАВА III. НЕРВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ, НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ. Занятие 1, 2. Геометрическая интерпретация уравнений вида |x-a|+|x-b|=c и |x-a|-|x-b|=c. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами. ЦЕЛЬ: научить изображать на плоскости фигуры, расширить представления учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношения и их геометрическими образами на координатными плоскостями. Методические рекомендации: Необходимо использовать рассматриваемый материал, включающий эстетический компонент, для развития интереса к предмету, а также для более глубокого усвоения базовых знаний. Кроме того, важно, чтобы учащимися были предложены задания, аппелирующие к воображению, фантазии.

Уравнения |х-а|+|х-в|=с и |х-а|-|х-в|=с имеют простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим уравнение|х-2|+|х+3|=7. Решить это уравнение - значит найти все такие точки на числовой оси ОХ, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (2) и (-3) равна 7. Внутри отрезка [-3;2] таких точек нет, так как длина отрезка |2-(- 3)|=5

Изображение решений неравенств с двумя переменными на координатной плоскости: Примеры: 1.

2.

3.

4.

2. НА СОДЕРЖАНИЕ