1 ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ

2 Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление – Автоматизация и управление специальность – Управление и информатика в технических системах МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Лекция 8. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.

3 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Цель изучения материала: научиться строить формальную модель объекта, используя типовую математическую Q-схему. Компетенций, формирующиеся в процессе знакомства с материалом: приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии; разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления; использовать современные технологии моделирования систем.

4 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Содержание лекции 8 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q -схемы.

5 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы На практике применяются более сложные системы, состоящие из композиций элементарных приборов обслуживания П i. Если каналы К i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание – получается многоканальная Q-схема. Если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание – получается многофазная Q-схема.

6 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой. Связи между элементами Q-схемы изображают в виде стрелок – линий потока, отражающих направление движения заявок.

7 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. обратная связь отсутствует. В замкнутых Q-схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

8 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться: количество фаз L ф, количество каналов в каждой фазе L kj, j = 1, L ф, количество накопителей каждой фазы L Hk, k = 1, L ф, емкость i-го накопителя L i H.

9 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы В зависимости от емкости накопителя системы массового обслуживания подразделяются: системы с потерями (L i H = 0, т.е. накопитель в приборе П i отсутствует, а имеется только канал обслуживания К i ), системы с ожиданием (L i H, т.е. накопитель Н i имеет бесконечную емкость и очередь заявок не ограничивается), системы смешанного типа (с ограниченной емкостью накопителя Н i ). Всю совокупность собственных параметров Q-схемы обозначим как подмножество Н.

10 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы ее функционирования. Эти алгоритмы определяют набор правил поведения заявок в системе в различных неоднозначных ситуациях. Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов.

11 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы В зависимости от динамики приоритетов в Q-схемах различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций.

12 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Исходя из правил выбора заявок из накопителя Н i на обслуживание каналом К i, можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Н i, ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом K i и только после этого занимает канал.

13 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель H i, прерывает обслуживание каналом К i заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал. При этом вытесненная из К i заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в H i.

14 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслуживания П i (каналов К i и накопителей Н i ) необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают Н i и К i : для накопителя Н i – правила переполнения, по которым заявки в зависимости от заполнения Н i покидают систему, правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в накопителе Н i, для канала К i – правила выбора маршрутов по каналам, правила направлений ухода из каналов.

15 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале К i или не допускаются до обслуживания каналом К i, т.е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки K i по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q-схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q-схемы.

16 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме можно представить в виде оператора алгоритмов поведения заявок A. Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания любой сложности, однозначно задается в виде Q = W, U, Н, Z, Y, R, A>.

17 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Возможности оценки характеристик с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными. Большими возможностями обладают имитационные модели, позволяющие исследовать Q-схему с помощью языков имитационного моделирования, например SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.

18 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Задание. В студенческом машинном зале расположены две ЭВМ и одно устройство подготовки данных (УПД). Студенты приходят с интервалом в 8 2 мин, и треть из них хочет использовать УПД и ЭВМ, а остальные только ЭВМ. Допустимая очередь в машинный зал составляет четыре человека, включая работающего на УПД. Работа на УПД занимает 8 1 мин, а на ЭВМ – 17 мин. Кроме того, 20 % работавших на ЭВМ возвращаются для повторного использования УПД и ЭВМ. Смоделировать работу машинного зала в течение 6 ч. Определить загрузку УПД, ЭВМ и вероятности отказа в обслуживании вследствие переполнения очереди. Определить соотношение желающих работать на ЭВМ и на УПД в очереди.

19 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Концептуальная модель исследуемой системы представлена в виде структурной схемы (рис. 1). Она состоит из - одного входного потока х – студенты, приходящие в машинный зал, - трех выходных потоков у1, у2 – студенты, отработавшие в машинном зале на соответствующей ЭВМ, и у3 – студенты, которым не хватило места в зале, - трех блоков – устройств (УПД, ЭВМ1, ЭВМ2), связанных между собой согласно условию задачи.

20 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Рис. 1. Концептуальная модель в виде структурной схемы 20% х у1у1 у2у2 33% 67% УПД ЭВМ1 ЭВМ2 у3у3

21 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Экзогенные (независимые) переменные модели: интервал времени (интенсивность) прихода студентов в зал; допустимая очередь в машинный зал; время работы студентов на ЭВМ, УПД.

22 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Эндогенные (зависимые) переменные модели: загрузка УПД и каждой ЭВМ; загрузка очереди к УПД и каждой ЭВМ; количество студентов, работающих на каждой ЭВМ и УПД; количество студентов, желающих повторно работать на УПД и ЭВМ; количество студентов, которые получили отказ в обслуживании вследствие переполнения очереди к УПД или ЭВМ; вероятность отказа в обслуживании вследствие переполнения очереди к УПД или ЭВМ; соотношение желающих работать на ЭВМ и на УПД в очереди.

23 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Входные переменные модели: интервал времени (интенсивность) прихода студентов в зал, TПР TПР, где TПР – средний интервал времени между приходом студентов в машинный зал, TПР – половина интервала, в котором равномерно распределено значение, единица измерения – минута. Если интенсивность прихода студентов в зал будет меньше времени работы студентов на УПД и ЭВМ, то загрузка системы в целом будет возрастать, и, как следствие, будет увеличиваться количество студентов, которые получат отказ в обслуживании.

24 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Выходные переменные модели: количество студентов, отработавших на ЭВМ или УПД и ЭВМ за заданный интервал времени работы машинного зала, NОБС, единица измерения – количество студентов; количество студентов, которые получили отказ в обслуживании вследствие переполнения очереди к УПД или ЭВМ за заданный интервал времени работы машинного зала, NОТК, единица измерения – количество студентов.

25 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Параметры модели: допустимая очередь в машинный зал, LЗАЛ, единица измерения – количество студентов; время работы студентов на первой и второй ЭВМ, TЭВМ1, TЭВМ2, единица измерения – минута; время работы студентов на УПД, TУПД TУПД, где TУПД – среднее время работы студентов на УПД, TУПД – половина времени, в котором равномерно распределено значение, единица измерения – минута; среднее время обслуживания студентов в машинном зале, TОБС, единица измерения – минута;

26 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Параметры модели: загрузка УПД, ZУПД, единица измерения – относительная единица; загрузка первой и второй ЭВМ, ZЭВМ1, ZЭВМ2, единица измерения – относительная единица; загрузка очереди к УПД, ZОЧ.УПД, единица измерения – относительная единица; загрузка очереди к первой и второй ЭВМ, ZОЧ.ЭВМ1, ZОЧ.ЭВМ2, единица измерения – относительная единица; количество студентов, желающих работать только на ЭВМ, NЭВМ, единица измерения – количество студентов;

27 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Параметры модели: количество студентов, желающих работать не только на ЭВМ, но и на УПД, NУПД, единица измерения – количество студентов; количество студентов, желающих повторно работать на УПД и ЭВМ, NПР, единица измерения – количество студентов; вероятность отказа в обслуживании вследствие переполнения очереди к УПД или ЭВМ, РОТК, единица измерения – относительная единица.

28 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Уменьшение допустимой очереди в машинный зал, и (или) увеличение времени работы студентов на УПД и ЭВМ, и (или) увеличение количества студентов, желающих повторно работать на УПД и ЭВМ, будет приводить к увеличению загрузки системы в целом и, как следствие, к увеличению количества студентов, которые получат отказ в обслуживании. Воздействия внешней среды отсутствуют.

29 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: В качестве типовой математической схемы применяется Q-схема, состоящая из одного источника (И), накопителя (Н), трех каналов (К1, К2, К3), шести клапанов (рис. 2). Рис. 2. Концептуальная модель в виде Q-схемы И Н К2К2 К1К1 К3К3 N ОТК N ОБС кл 1 кл 2 кл 3 кл 4 кл 5 кл 6

30 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Заявки (студенты, приходящие в машинный зал) в систему поступают от источника И с интервалом 8 2 мин в накопитель Н с емкостью LН, равной 3, поскольку по условию очередь в машинный зал может быть только из 4 человек, включая заявку в канале К2 (УПД). Канал К1 соответствует ЭВМ1, канал К2 – УПД, канал К3 – ЭВМ2. От источника заявки поступают в клапан 1, который управляется накопителем Н. В случае отсутствия места в накопителе заявки получают отказ N ОТК. От накопителя Н заявки поступают в клапан 2, который условно управляется источником, распределяющим заявки между каналом К1 (60 %) и каналами последовательной обработки К2 и К3 (30 %). Обработка (задержка) заявки в канале К1 занимает 17 мин.

31 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Клапан 3 управляется каналом К1, в случае его занятия заявка посылается на канал К2. Обработка (задержка) заявки в канале К2 занимает 8 1 мин. Клапан 4 принимает заявки от клапанов 2 и 6, управляется каналом К2, в случае его занятия заявка встает в очередь. Обработка (задержка) заявки в канале К3 занимает 17 мин. Клапан 5 принимает заявки от клапана 3 и канала К2, управляется каналом К3, в случае его занятия заявка встает в очередь. Клапан 6 принимает заявки от каналов К1 и К3, управляется соответствующим каналом, при этом 20 % заявок не уничтожается, а поступает на клапан 4 для повторного обслуживания в каналах К2 и К3. Остальные 80 % заявок считаются обслуженными N ОБС и уничтожаются.

32 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Возможные приложения Q-схемы Пример моделирования системы массового обслуживания: Формальная модель системы, состоящая из источника И, накопителя Н с очередью LН, каналов К1, К2, К3, обслуженных N ОБС и отказанных в обслуживании N ОТК заявок, клапанов кл1, кл2, кл3, кл4, кл5, кл6: Q = { И, Н, К1, К2, К3, N ОБС, N ОТК, кл1, кл2, кл3, кл4, кл5, кл6, LН = 3 }.

33 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Выводы и заключение по лекции: научились строить формальную модель объекта, используя типовую математическую Q-схему.

34 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Перечень источников: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, с. 3. Список дополнительной литературы по теме: Дружинина О.Г. Преподавание дисциплины «Моделирование систем»: методическая разработка по дисциплине «Моделирование систем»/ О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, с. Дружинина О.Г. Имитационное моделирование систем массового обслуживания с помощью GPSS: методические указания к лабораторным работам / О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, с.