1 Алгебра и начала анализа. 11класс. Базовый уровень Тема урока: «Производная показательной функции». Сердюков В. И. - учитель математики МОУ СОШ 3 г. Карасука Новосибирской области 2008 г.

2 Цели урока. Обучающие: введение понятие числа е; изучение формул дифференцирования (без доказательства); показать применение этих формул при решении упражнений на дифференцирование функций; получение информации путем создания математической модели с помощью приложения Advanced Grapher. Развивающие: развитие мышления, внимания, способности делать выводы из практического эксперимента. Воспитывающие: воспитание наблюдательности, аккуратности, настойчивости

3 Оборудование урока. Учебник: Алгебра и начала анализа (под редакцией А. Н.Колмогорова) 2006 г. Листы с «Инструкцией к выполнению практической работы». Слайды с рисунками по теме урока (в данной презентации). Компьютеры. Прикладная компьютерная среда Advanced Grapher. Мультимедийный проектор.

4 План урока. I. Оргмомент. II. Актуализация знаний. III. Изучение нового материала. Постановка задачи исследовательской работы. Исследовательская практическая работа за компьютерами. Вывод. Понятие числа e. Понятие экспоненты, натурального логарифма. Формулы дифференцирования показательной функции. IV. Закрепление изученного материала. Разбор образцов примеров на нахождение производной показательной функции. Решение упражнений из учебника. V. Срезовая работа. VI. Итог урока. Оценки. VII. Домашнее задание.

5 I. Постановка цели. Объявляется тема урока: «Производная показательной функции». Сообщается, что сегодняшнем уроке будут изучены формулы дифференцирования показательной функции. Для этого на I этапе урока учащиеся выполнят практическую исследовательскую работу на компьютере с помощью приложении Advanced Grapher. В конце урока будет проведена срезовая работа по новому материалу.

6 II. Актуализация знаний Вопрос1. Как связаны между собой угол α и значение производной функции у = f(х) в точке х 0 - ?

7 Ответ на вопрос 1.

8 Вопрос 2. График какой функции изображен на рисунке?

9 Ответ на вопрос 2. График какой функции изображен на рисунке? Это график показательной функции с основанием a > 1

10 Вопрос 3 Как геометрически определить значение производной функции в точке х=0?

11 Ответ. Нужно построить касательную к графику функции в точке х=0 и найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси OX.

12 III. Изучение нового материала На сегодняшнем уроке вы выполните исследовательскую работу на компьютере с помощью приложения Advanced Grapher. Задание для исследовательской работы. Среди функций найти ту, для графика которой прямая у=х+1 является касательной в точке x 0 =0 ( путем последовательного построения их графиков)

13 Под каким углом наклонена прямая y=x+1 к оси ОХ?

14 Ответ: прямая наклонена к оси ОХ под углом 45 градусов

15 Сколько точек пересечения имеет прямая у=х+1 с графиком функции ?

16 Ответ. 2 точки пересечения: А и В

17 Исследовательская практическая работа за компьютером Примечание. На каждом компьютерном столе лежит лист с инструкцией к выполнению работы. Инструкция к выполнение работы: Запустить программу Advanced Grapher. 1. Построить график функции у=х В той же системе координат построить график функции, где а=1,5. 3. Сделать запись в таблице:

18 Сделать запись в таблице Значение a Число точек пересечения с прямой y= x+1 1,52 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1

19 4. Проделать пункты 1, 2. и 3. этого алгоритма для a= 1,7; 1,9; 2,1; 2.3; 2.5; 2,7; 2,9; 3,1, наблюдая, как изменяется положение точек пересечения графиков. 5. Записать в рабочей тетради то значение а, при котором прямая y=x+1 имеет только одну общую точку графиком функции, т. е. является касательной к графику этой функции 6. Ответить на вопрос: При каком а для функции выполняется условие: у´(о)= tg45=1 ?

20 При каком а для функции выполняется условие: у´(о)= tg45=1 ? Ответ : при а=2,7

21 Теорема Примем без доказательства теорему: Существует такое число больше 2 и меньше 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. в этой точке касательная к графику функции составляет угол 45 градусов

22 В анализе доказано, что число e иррациональное. С помощью ЭВМ у этого числа найдено более 2-х тысяч десятичных знаков после запятой. е=2, … Показательную функцию называют экспоненциальной функцией. График функции называют экспонентой log е =lnх – натуральный логарифм.

23 Экспонента. Касательная у=х+1 к графику в точке х 0 =0 составляет с осью ОХ угол 45 градусов

24 Формулы дифференцирования

25 Образцы выполнения упражнений

26 Закрепление. Выполнить упражнения (а,б)

27 V. Проверочная работа Вариант 1Вариант 2 Найти производные функций. у=е -7х у=1,2 5х у=7е х +5 х у=е х cosx у=е -2х у=2,3 5х у=9е х +4 х у=е х sinх

28 Выполняется самопроверка. п/п Правильные ответы I варианта п/п Правильные ответы II варианта 1 -7е -7х 1 -2ex ,2 5х ln1, ,3 5х ln2,3 3 7е х + 5 х ln5 3 9e x + 4 x ln4 4 е х (cosx - sinx) 4 е х (sinx + cosx) Выставляются оценки с учетом таблицы: правильного ответаОценка 13 1,24 1,2,34 1,2,3,45 :

29 VI. Итог урока. Выясняется (поднятием рук), какие учащиеся получили оценку «3», «4», «5». Учитель поощряет справившихся учащихся похвалой, одобрительным кивком,и т.д. Заключительный вопрос: Как вы поняли, что такое число е?

30 Как вы поняли, что такое число е? e - иррациональное число. е 2,7.

31 VII. Домашнее задание 1. п.41. Прочитать. Выучить формулы и формулировки теорем (в, г) 3. Индивидуальные задания. Теоремы 1, 2 (с доказательством).