Комбинаторика вокруг нас Работу выполнила: Лихачева Анастасия СОШ 50 Научный руководитель: учитель математики Ермолина Татьяна Юзиковна

Мотивы выбора темы: Желание доказать своим одноклассникам и их родителям, что знания математики значительно упрощают решение многих практических проблем. Желание узнать, кому и где могут понадобиться знания комбинаторики.

Комбинаторика - Это раздел математики, в котором разрабатываются различные способы получения комбинаций (вариантов) и методы подсчета их количества. (из научно-популярного занятия на тему «Комбинаторика для великих комбинаторов»)

Основные виды комбинация и формулы подсчета их количеств НазваниеСвойстваФормула Перестановки Элементы во множестве не могут повторяться; важен порядок. = Сочетания Элементы во множестве не могут повторяться; важен состав. Размещения Элементы во множестве не могут повторяться; важен и состав и порядок. (из научно-популярного занятия на тему «Комбинаторика для великих комбинаторов»)

Цель исследования Описать область практических и учебных приложений знаний основ комбинаторики с помощью перечня задач основных видов.

Задача исследования 1.Установить, какие задачи на подсчет количества комбинаций (вариантов) есть в школьных учебниках и как их решать.

Результаты анализа учебника (7 задач) Разделы учебникаЗадачи на подсчет количества ПерестановокСочетанийРазмещений Признаки делимость чисел на 9 и Простые и составные числа Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. 186 Наименьшее общее кратное.194 Нахождение дроби от числа517 Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 355 Учебник: Виленкина Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. «Математика» 6 класс, издательство Москва: Мнемозия, 2009

Виды сюжетов Задачи на подсчет количества ПерестановокСочетанийРазмещений Задача на подсчет количества всевозможных чисел, составленных из данных цифр Задача на подсчет количества всевозможных разложений числа Задача на выбор представителей в совет школы 517 Задачи на составление расписаний355 Классификация найденных задач по видам сюжетов

Пример 1. Решение задачи из учебника 194. «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6,8 используя в записи числа каждую из них не более одного раза?». Решение: 1) Для составления чисел надо выбирать из 4-х цифр по 3. Порядок расположения цифр важен, так как 246, 462 и 624 – это все разные числа. Значит задача на подсчет количества размещений. 2). Воспользуемся формулой Получим:

Задача исследования 2. Установить, какие практические ситуации требуют применение знаний комбинаторики, и каких.

План поиска сюжетов и составления задач I.Найти ситуацию, в которой человеку приходится составлять комбинации или перебирать различные варианты и при этом очень полезно знать, а сколько их всего. II. Узнать каким условиям должны удовлетворять комбинации, которые он составляет или перебирает. III. Отобрать для составления задачи только те условия составления и перебора комбинаций, которые важны для подсчета их количества. IV. Составить практическую задачу, в которой описывается лишь отобранные условия составления комбинаций и спрашивается, сколько всего комбинаций можно составить

Виды составленных задач и способы их решения Название Вид комбинации Формула 1. Забытый pin-код размещение с повторениями 2. Проблема модниц сочетание 3. Сосед по парте -новая встреча размещение

Виды составленных задач и способы их решения Название Вид комбинации Формула 4. Покупка пирожных сочетание с повторениями 5. Карточка «Спортлото» сочетание 6. Большая стирка перестановки

Пример 2 Решение практической задачи Забытый pin-код: Сколько всевозможных вариантов pin-кода надо перебрать, чтобы среди них наверняка был и забытый? Решение: 1) pin-код состоит из 4 цифр, всего цифр 10, они могут повторяться, порядок расположения цифр в числе важен. Значит это задача на подсчет количества размещений с повторениями. 2) Воспользуемся формулой Получим

Выводы: Анализ учебника показал мне, что задач комбинаторики там очень мало (7 задач) Среди них есть как задачи математические, так и практические. Все задачи учебника можно решить с помощью известных мне формул: 1) 2) 3) Работа по поиску жизненных ситуаций, в которых полезны знания комбинаторики и составлению задач показала, что вокруг нас таких ситуаций очень много, мы встречаемся с ними каждый день (составила 6 видов задач). Для решения некоторых из этих задач нужны дополнительные формулы: 1) 2) 3)