1 ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет им. первого Президента Россиии Б.Н. Ельцина

2 Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление – Автоматизация и управление МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Лекция 19 Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем. Проблемы тактического планирования Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.

3 Цель изучения материала: научиться тактически планировать машинные эксперименты с моделями систем, изучить проблемы тактического планирования, изучить проблему определения начальных условий их влияния на достижение установившегося результата при моделировании, изучить проблему обеспечения точности и достоверности результатов моделирования, изучить проблему уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем.

4 Компетенции, формирующиеся в процессе знакомства с материалом: готовность учитывать современные тенденции развития информатики и вычислительной техники, компьютерных технологий в своей профессиональной деятельности; приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии; разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления; осуществлять постановку и выполнять машинные эксперименты по проверке их корректности и эффективности; использовать современные инструментальные средства и технологии имитационного моделирования;

5 Содержание лекции 19 Раздел 6. Планирование машинных экспериментов с моделями систем Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем. Проблемы тактического планирования

6 Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем Тактическое планирование эксперимента с компьютерной моделью системы связано с вопросами эффективного использования выделенных для эксперимента вычислительных ресурсов и определением конкретных способов проведения испытаний модели, намеченных планом эксперимента, построенном при стратегическом планировании.

7 Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем Проблемы тактического планирования машинного эксперимента: 1) определение начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании; 2) обеспечение точности и достоверности результатов моделирования; 3) уменьшение дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем; 4) выбор правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями систем.

8 Проблема определения начальных условий их влияния на достижение установившегося результата при моделировании При начале очередного прогона модели процесса функционирования системы, требуется определенное время для достижения условий равновесия, которые соответствуют условиям функционирования реальной системы. Таким образом, начальный период работы вычислительной модели искажается из-за влияния начальных условий запуска модели.

9 Для решения этой проблемы: - либо исключается из рассмотрения информация о модели, полученная в начальной части периода моделирования (0, Т), - либо начальные условия выбираются так, чтобы сократить время достижения установившегося режима. Эти приемы позволяют только уменьшить, но не свести к нулю время переходного процесса при проведении вычислительного эксперимента с моделью. Проблема определения начальных условий их влияния на достижение установившегося результата при моделировании

10 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Решение второй проблемы связано с оценкой : - точности и достоверности результатов моделирования при заданном числе реализации (объеме выборки), - числа реализации при заданных точности и достоверности результатов моделирования системы. Обработка результатов статистического имитационного эксперимента принципиально не может дать точных значений показателя эффективности системы; в лучшем случае можно получить только оценку такого показателя.

11 Количество реализации N при статистическом моделировании системы выбирается исходя из двух противоречивых требований: - определения затрат ресурсов на вычислительный эксперимент с моделью (включая построение модели и ее машинную реализацию), - оценки точности и достоверности результатов эксперимента с моделью системы (при заданных ограничениях на ресурсы). Необходимо решить задачу нахождения компромисса между ними. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

12 Из-за наличия стохастичности и ограниченности числа реализаций N в общем случае Е. При этом величина называется точностью (абсолютной) оценки. Вероятность того, что неравенство | Е –|< (6.98) выполняется, называется достоверностью оценки Q=P{|E – |

13 Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности результатов с количеством реализации при вычислительном эксперименте. В качестве показателей эффективности Е выступают: - вероятность р (I), - математическое ожидание а (II), - дисперсия 2 (III). Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

14 I. Пусть цель машинного эксперимента с моделью системы – получение оценки р вероятности появления р = Р(А) некоторого события А, определяемого состояниями процесса функционирования исследуемой системы. В качестве оценки вероятности р в данном случае выступает частость = m/N, где т – число положительных исходов. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

15 Тогда соотношение (6.99), связывающее точность и достоверность оценок с количеством реализации: Р{|p – m/N|< }=Q, P{p –

16 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Математическое ожидание случайной величины : M[ ] = х 1 p + x 2 (1 – p) = 1р + 0(1 – р) = р; Дисперсия случайной величины : D[ ] = (х 1 – M[ ]) 2 р + (x 2 – M[ ]) 2 (1 – р)= = (1 – p) 2 р + (0 – р) 2 (1 – р) = р(1 – р). Тогда M[ ] = М[m/N] = = M[ ] = р. Это соотношение говорит о несмещенности оценки для вероятности р.

17 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования С учетом независимости значений величин х i получим D[ ] = D[m/N]= = D[ ] =. В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей (или ее частного случая – теоремы Лапласа) частость m/N при достаточно больших N можно рассматривать как случайную величину, описываемую нормальным законом распределения вероятностей с математическим ожиданием р и дисперсией p(1 – p)/N.

18 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Поэтому соотношение (6.100) можно переписать так:.

19 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Учитывая, что Ф 0 (-z)=1 – Ф 0 (z), получим где t – квантиль нормального распределения вероятностей порядка =(1+Q)/2; находится из специальных таблиц.

20 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования В результате точность оценки вероятности р определяется т.е. точность оценки вероятностей обратно пропорциональна.

21 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Из соотношения для точности оценки можно вычислить количество реализаций N= (6.101) необходимое для получения оценки с точностью и достоверностью Q.

22 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Пример. Необходимо рассчитать количество реализаций N при статистическом моделировании системы S, когда в качестве показателя эффективности используется вероятность р при достоверности Q = 0,95 (t = 1,96) и точности = 0,01; 0,02; 0,05. Так как значения р до проведения статистического моделирования системы S неизвестны, то вычислим множество оценок N для диапазона возможных значений р, т.е. от 0 до 1, с шагом 0,1. Результаты расчетов с использованием выражения (6.101) представлены в табл

23 Пример. Из таблицы видно, что при переходе от p = 0,1 (0,9) к p = 0,5 количество реализации N возрастает примерно в три раза, а при переходе от = 0,05 к = 0,01 количество реализации N возрастает примерно в 25 раз. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

24 При отсутствии возможности получения каких-либо априорных сведений о вероятности р использование понятия абсолютной точности теряет смысл. Действительно, можно, например, предварительно задать точность результатов моделирования = 0,01, искомая р в результате окажется хотя бы на порядок ниже, т.е. p 0,001. В таких случаях целесообразно задавать относительную точность результатов моделирования 0. Тогда соотношение (6.9) примет вид: N=(6.102) Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

25 Соотношение (6.8) наглядно иллюстрирует специфику статистического моделирования систем, выражающуюся в том, что для оценивания малых вероятностей р с высокой точностью необходимо очень большое число реализаций N. В практических случаях для оценивания вероятностей порядка 10 -k целесообразно количество реализаций выбирать равным 10 k+1. Очевидно, что даже для сравнительно простых систем метод статистического моделирования приводит к большим затратам машинного времени. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

26 II. Оценим показатель эффективности Е системы по результатам определения среднего значения случайной величины. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание а и дисперсию 2. В реализации с номером i она принимает значение х i. В качестве оценки математического ожидания a используется среднее арифметическое. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

27 В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей при больших значениях N среднее арифметическое будет иметь распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием а и дисперсией 2 /N. Для математического ожидания a точность оценки = t /, количество реализаций N=или N=(6.103) Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

28 III. Если в качестве показателя эффективности Е системы выступает дисперсия 2, в качестве ее оценки используется величина S 2, то математическое ожидание и дисперсия равны где 4 – центральный момент четвертого порядка случайной величины. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования

29 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Для дисперсии 2 точность оценки = t. Отсюда количество реализации будет. (6.104) Для частного случая, когда случайная величина имеет нормальное распределение 4 = 3 4, получим N = 2 4 / 2 = 2 /.

30 Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования Таким образом, на основании соотношений (6.101) – (6.104) можно сделать вывод, что количество реализаций при статистическом моделировании существенно зависит от дисперсии оцениваемой случайной величины. Поэтому выгодно выбирать такие оцениваемые показатели эффективности Е системы, которые имеют малые дисперсии.

31 Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем Проблема уменьшения дисперсии тесно связана с проблемой выбора количества реализаций при обеспечении необходимой точности и достоверности результатов. Методы уменьшения дисперсии: - при заданном числе реализации увеличивают точность оценок, - при заданной точности оценок сокращают необходимое число реализации. Эти методы используют априорную информацию о структуре и поведении моделируемой системы.

32 Рассмотрим метод коррелированных реализаций (выборок), используемый в задачах сравнения двух или более альтернатив. Сравнивают варианты S i,, отличающиеся друг от друга структурой, алгоритмами поведения и параметрами. Выбор наилучшего варианта системы производится : - простым перебором результатов моделирования системы; - автоматизированной процедурой поиска. Элементарная операция – сравнение статистически усредненных критериев интерпретации. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

33 Сравниваются статистические показатели Е i вариантов модели S i,, в виде: - средних значений E i =M[q i ], критериев q i, характеризующих систему, - средних значений функции этих критериев f j (q i ),,. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

34 Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем Например, если то показатель Е i – вероятность нормальной работы системы S i. Если, то показатель Е i – дисперсия контролируемой величины и т.д. Здесь q i =|q i – q иi | отклонение значения контролируемой для системы S i величины q i от истинной q иi.

35 Сравним характеристики двух конкурирующих варианта моделируемой системы: S 1 и S 2. Существенной особенностью операции сравнения вариантов систем S 1 и S 2 является повышение требований к точности статистических оценок,, показателей Е 1, Е 2 при уменьшении разности Е=|E1 – Е2|. В качестве оценок выступают: - средние значения (I), - вероятности (II), - дисперсии (III). Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

36 I. В результате имитационного эксперимента с вариантами модели системы S 1 и S 2 нашли оценки, средних значений критериев q 1, q 2 a 1 =M[q 1 ], a 2 =M[q 2 ]. Дисперсия оценок D[ ], D[ ], коэффициент корреляции оценок равен R[, ], тогда дисперсия погрешности оценки = – разности d = a 1 – a 2 найдем из соотношения (6.105) где 1 =, 2 = – средние квадратичные отклонения оценок. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

37 При независимом моделировании вариантов системы с использованием различных реализаций псевдослучайных последовательностей коэффициент корреляции оценок R[, ] = 0 и D и [ ] = D[ ] + D[ ]. При компьютерном моделировании с вариантами системы S 1 и S 2 можно получить положительный коэффициент корреляции R[, ]>0, когда используются, например, одни и те же псевдослучайные последовательности. Тогда, D[ ]

38 II. Вероятности р 1, р 2 событий А 1, А 2, характеризующих сравниваемые варианты модели систем S 1 и S 2, представим как средние значения двоичных случайных величин q 1, q 2 c распределением вероятностей P{q 1 =1} = p 1 ; P{q 1 =0} = 1 – p 1 ; P{q 2 =1} = p 2 ; P{q 2 =0} = l – p 2. Тогда для оценки разности вероятностей p = p 1 – p 2 = M[q 1 ] – M[q 2 ] аналогично можно использовать все выражения, полученные ранее при сравнении средних значений, видоизменив в них обозначения. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

39 Учтем, что двухмерное распределение вектора (q 1, q 2 ), описывает зависимость между вероятностями событий А 1, А 2 : Р{q 1 =1, q 2 =1} = P(A 1, A 2 ) = p A ; P{q 1 =0, q 2 =0} = P( A 1, А 2 ) = p B ; P{q 1 =1, q 2 =0} = Р(А 1, А 2 ) = p C ; P{q 1 =0, q 2 =l} = P( A 1, A 2 ) = p D, причем p A +p C = p 1, p B +p D = p 2.. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

40 В частности, для повторной выборки объемом N получим, что оценка = – = (m 1 – m 2 )/N, где т 1, m 2 – количество наступлений событий А 1, А 2, полученных при независимых прогонах модели. Учитывая, что между q 1, q 2 ковариация B 12 = p A – р 1 р 2, найдем дисперсию оценки D[ ] = (p C +p D – (p C – p D ) 2 )/N, что следует из (6.11). Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

41 III. В качестве оценки вариантов систем S 1 и S 2 рассмотрим дисперсию. Оценка разности D=D 1 – D 2 дисперсией критериев q 1, q 2 вычисляется по независимым реализациям вектора (q 1, q 2 ) с помощью формулы = –, где, – эмпирические дисперсии критериев q 1, q 2, рассчитываемые по формуле. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

42 Для оценки дисперсия D[ ] = D[ ]+D[ ] – 2B[, ], где дисперсии эмпирических дисперсий D[ ], D[ ] вычисляются по формуле, где 4 = M 4 [q] = M[(q – M[q]) 4 ] – центральный момент распределения четвертого порядка. Ковариация B[, ] M[(q 1 – M[q 1 ]) 2 (q 2 – M[q 2 ]) 2 ]/N. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

43 Таким образом, для уменьшения дисперсии надо построить специальный моделирующий алгоритм с положительной корреляцией, например, за счет управления генерацией случайных величин. Эффективность метода уменьшения дисперсии зависит от необходимости дополнительных затрат вычислительных ресурсов (времени и памяти) на реализацию подхода. Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем

44 Выводы и заключение по лекции: научились тактически планировать машинные эксперименты с моделями систем, изучили проблемы тактического планирования, изучили проблему определения начальных условий их влияния на достижение установившегося результата при моделировании. изучили проблему обеспечения точности и достоверности результатов моделирования, изучили проблему уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем.

45 Перечень источников: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 5-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, с. Список дополнительной литературы по теме: 3. Дружинина О.Г. Моделирование систем: учеб. пособие / О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, ч с. 4. Дружинина О.Г. Имитационное моделирование автоматизированных систем обработки информации с помощью GPSS: методическая разработка к курсовому проектированию по дисциплине «Моделирование систем» / О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, с. 5. Дружинина О.Г. Имитационное моделирование непрерывно- детерминированных систем с помощью пакета программ MATLAB: Методические указания к лабораторным работам по курсу "Моделирование систем" / О.Г. Дружинина, Морозова В.А., Андреев Д.В. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, с.