Замечательные точки треугольника Работа ученицы 8 а класса Ерёмычевой Марии

Оглавление Треугольник Треугольник Треугольник Из истории Из истории Из истории Из истории Элементы треугольника Элементы треугольника Элементы треугольника Элементы треугольника Центр тяжести треугольника Центр тяжести треугольника Центр тяжести треугольника Центр тяжести треугольника Центр вписанной и описанной окружности Центр вписанной и описанной окружности Центр вписанной и описанной окружности Центр вписанной и описанной окружности Ортоцентр и изогональные точки Ортоцентр и изогональные точки Ортоцентр и изогональные точки Ортоцентр и изогональные точки Точка Лемуана Точка Лемуана Точка Лемуана Точка Лемуана Прямая Эйлера Прямая Эйлера Прямая Эйлера Прямая Эйлера Окружность девяти точек Окружность девяти точек Окружность девяти точек Окружность девяти точек Точка Ферма Точка Ферма Точка Ферма Точка Ферма Точка Жергонна Точка Жергонна Точка Жергонна Точка Жергонна Точка Нагеля Точка Нагеля Точка Нагеля Точка Нагеля Точка Брокара Точка Брокара Точка Брокара Точка Брокара Прямая Симпсона Прямая Симпсона Прямая Симпсона Прямая Симпсона

Треугольник Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – "землемерие" (от греческого "гео" – "земля" и "метрео" – "измеряю"). Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – "землемерие" (от греческого "гео" – "земля" и "метрео" – "измеряю").

Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником.

Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны есть фигура, имеющая три равные стороны Равносторонний равнобедренный же – имеющая только две равные стороны Равнобедренный Разносторонний разносторонний – имеющая три неравные стороны

ИЗ ИСТОРИИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. И три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. И три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.

В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера". В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности. Эйлер

Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера. Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX веков Лемуан, Брокар, Тебо и другие. Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера. Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX веков Лемуан, Брокар, Тебо и другие. Фейербах

ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Основными элементами треугольника ABC являются: вершины - точки A, B, и C; стороны - отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины; углы, образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, - буквами A, B и C.

МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия: 1) найти середину стороны; 2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком - это и будет медиана.

БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия: 1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части); 2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной; 3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком - это и будет биссектриса. Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия: 1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части); 2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной; 3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком - это и будет биссектриса.

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия: 1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике); 2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней (а перпендикуляр - это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) - это и будет высота. Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия: 1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике); 2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней (а перпендикуляр - это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) - это и будет высота.

СРЕДНИЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА Средние линии - это отрезки, соединяющие середины двух сторон. Поэтому для построения средней линии необходимо выполнить следующие действия: 1) найти середины двух сторон треугольника; 2) соединить середины сторон отрезком - это и будет средняя линия. Три средние линии треугольника образуют "вписанный" в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника. А периметр в два раза меньше периметра данного треугольника.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА ( точка пересечения медиан) 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношениии 2:1, начиная от вершины треугольника. 2. Медианы треугольника делят его на равновеликие треугольники. Треугольники называются равновеликими, если у них равны площади. 3. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центром масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет в эту точку. Центр равных масс иногда называют центроидом. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поместить на булавку так, чтобы острие последней попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. За особенности, описанные в пунктах 1-3, точку пересечения медиан и называют замечательной точкой треугольника. 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношениии 2:1, начиная от вершины треугольника. 2. Медианы треугольника делят его на равновеликие треугольники. Треугольники называются равновеликими, если у них равны площади. 3. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центром масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет в эту точку. Центр равных масс иногда называют центроидом. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поместить на булавку так, чтобы острие последней попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. За особенности, описанные в пунктах 1-3, точку пересечения медиан и называют замечательной точкой треугольника.

ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ (точка пересечения биссектрис) Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.

ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ (точка пересечения серединных перпендикуляров) ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ (точка пересечения серединных перпендикуляров) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника, в прямоугольном - на середине гипотенузы, а в тупоугольном - вне треугольника.

ОРТОЦЕНТР ТРЕУГОЛЬНИКА (точка пересечения высот) Высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольгом треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном - совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном треугольнике - находится вне треугольника на пересечении продолжений высот. Высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольгом треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном - совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном треугольнике - находится вне треугольника на пересечении продолжений высот.

ИЗОГОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности, то есть содержат ее радиусы. Подобные две точки (синяя и оранжевая) называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника (синяя точка) изогонален центру описанной окружности (оранжевая точка) Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности, то есть содержат ее радиусы. Подобные две точки (синяя и оранжевая) называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника (синяя точка) изогонален центру описанной окружности (оранжевая точка)

ТОЧКА ЛЕМУАНА Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получаем новые замечательные линии - симедианы. Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника. Она является центроидом треугольника KMN, образованного ее проекциями на стороны исходного треугольника. Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получаем новые замечательные линии - симедианы. Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника. Она является центроидом треугольника KMN, образованного ее проекциями на стороны исходного треугольника.

ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера). Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера).

ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК Середины сторон треугольника (точки A, B и С), основания его высот ( точки D, E и F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, K и H) лежат на одной окружности. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности (отрезок NL), а центр О лежит посередине отрезка NS, где N - центр описанной окружности, а точка S - ортоцентр треугольника. Такая окружность называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера, или окружностью Фейербаха - по имени Карла Фейербаха, провинциального учителя математики из Германии, родного брата философа Людовика Фейербаха. Середины сторон треугольника (точки A, B и С), основания его высот ( точки D, E и F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, K и H) лежат на одной окружности. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности (отрезок NL), а центр О лежит посередине отрезка NS, где N - центр описанной окружности, а точка S - ортоцентр треугольника. Такая окружность называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера, или окружностью Фейербаха - по имени Карла Фейербаха, провинциального учителя математики из Германии, родного брата философа Людовика Фейербаха.

ТОЧКА ФЕРМА Точка F - точка Ферма, то есть точка, сумма расстояний от которой до всех вершин треугольника ABC минимальна Точка F - точка Ферма, то есть точка, сумма расстояний от которой до всех вершин треугольника ABC минимальна

ТОЧКА ЖЕРГОННА Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке J. Она называется точкой Жергонна. Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке J. Она называется точкой Жергонна.

ТОЧКА НАГЕЛЯ Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, пересекаются в одной точке N – точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I – центр вписанной окружности, проходит через центр тяжести M (точка пересечения медиан) треугольника и делится им в отношении NM : MI = 2 : 1. Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, пересекаются в одной точке N – точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I – центр вписанной окружности, проходит через центр тяжести M (точка пересечения медиан) треугольника и делится им в отношении NM : MI = 2 : 1.

ТОЧКА БРОКАРА Если на сторонах треугольника АВС внешним образом построить подобные ему треугольники СА1В, САВ1 и С1АВ (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т.д.), то прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекутся в точке Р, которую называют точкой Брокара. Одна из особеностей этой точки состоит в том, что РАС = РСВ = РВА. Если на сторонах треугольника АВС внешним образом построить подобные ему треугольники СА1В, САВ1 и С1АВ (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т.д.), то прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекутся в точке Р, которую называют точкой Брокара. Одна из особеностей этой точки состоит в том, что РАС = РСВ = РВА.

ПРЯМАЯ СИМСОНА Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой – Прямой Симсона. Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка P лежит на описанной окружности треугольника. Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой – Прямой Симсона. Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка P лежит на описанной окружности треугольника.