Проектно - исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время. Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается инициатива и самостоятельность: учащихся нужно приучать не только к мышлению, но и к хотению. Н.А.Умов

Исследовательская деятельность – это образовательная работа, связанная с решением учащимися творческой, исследовательской задачи (в различных областях науки) и предполагающая наличие основных этапов, характерных для научного исследования, а также таких элементов, как практическая методика исследования выбранного явления, собственный экспериментальный материал, анализ собственных данных и вытекающие из него выводы. Деятельность ученика: Распознавание и четкое формулирование проблемы. Собирает данные при наблюдении, работает с литературными источниками. Намечает план действий. Формулирует гипотезу с помощью логических рассуждений. Проверка гипотезы. Оформляет результаты деятельности, выбирая адекватную форму представления результатов. Деятельность педагога: Управляет процессом овладения способами получения знаний, не навязывая своего мнения. Управляет развитием умений практически использовать полученные знания и формирует мировоззрение школьников. Обучает приемам подготовки презентации различных типов. Координирует и вдохновляет учащихся в их поисковой деятельности.

Результаты исследований можно оформить в виде презентации ( 10 – 15 мин.). Изложение включает: титульный слайд - название работы, автор(ы), руководитель(и), консультант(ы); цель работы, рабочая гипотеза; теоретическое обоснование актуальности исследования (при необходимости); использованные методы; этапы работы, описание результатов; объяснение результатов; выводы, возможности использования результатов исследования и перспективы дальнейшей работы по данной теме; благодарности; источники информации.

Проект – оригинальная практико-ориентированная работа интегративного, межпредметного и творческого содержания. В ней учащийся (учитель) решает конкретные учебные, культурные, социальные задачи исследовательского и прикладного характера, наполняя работу открывающимся ему новым образовательным (для учителя – педагогическим) содержанием и практическим смыслом. Цель проектного обучения состоит в том, чтобы создать условия, при которых учащиеся: самостоятельно и охотно приобретают недостающие знания из разных источников; учатся пользоваться приобретёнными знаниями для решения познавательных и практических задач; приобретают коммуникативные умения, работая в различных группах; развивают у себя исследовательские умения; развивают системное и проектное мышление.

Перед проектной деятельностью учитель должен продумать весь ход работы. Ни саму проблему, ни гипотезы, ни методы исследования поисковой деятельности он не должен давать учащимся в готовом виде. Учитель лишь ненавязчиво направляет мысль учащихся в нужное русло. А ребята должны подтвердить свою точку зрения аргументами, доказательствами, фактами.

На начальном этапе освоения проекты могут быть Информационными Практико – ориентированными Творческими Игровыми Мини - проектами

Выводы: Реализация методов проектов, методики сотрудничества перспективны при изучении математики; В процессе работы у учащихся формируются новые учебные умения по самостоятельному добыванию и осмыслению знаний; Проектно – исследовательская деятельность может использоваться для решения небольших проблемных задач, а так же для решения крупных, сложных для понимания вопросов.

Основополагающий вопрос: « Математика в пословицах» Проблемные вопросы: 1. «Как изменяется количество дров по мере продвижения в лес?» 1. «Как изменяется количество дров по мере продвижения в лес?» 2. «Можно ли маслом испортить кашу?» 2. «Можно ли маслом испортить кашу?» 3. «Как может скакать конь?» 3. «Как может скакать конь?» 4. «Чем пересев хуже недосева?» 4. «Чем пересев хуже недосева?» 5. «Не круто начиная, круто кончай» 5. «Не круто начиная, круто кончай» 6. «Горяч на почине, да скоро остыл» 6. «Горяч на почине, да скоро остыл» 7. «Как живет тот, кто пьет до дна?» 7. «Как живет тот, кто пьет до дна?»

Творческое название проекта: « ФУНКЦИИ РЯДОМ С НАМИ»

Цели и задачи проекта Цели и задачи проекта 1.Лучше понять и запомнить свойства функций и их графики. 2.Совершенствовать навыки ведения исследовательской деятельности. 3.Научиться изображать графики функций. 4.Совершенствовать навыки работы на компьютере, а именно в Power Point.

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Идея зависимости некоторых величин восходит к древнегреческой науке. Сегодня мы рассмотрим некоторые из них.

Чтобы наглядно проиллюстриро- вать характерные свойства функ- ций, обратимся к пословицам. Ведь пословицы – это отражение устой- чивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушки (S), где давным-давно все собрано, до чащобы, куда еще не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная черта – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим в м 3 ) количество топлива на данном км дороги (рис.1). Продвижение в лес Количество дров Рис. 1

Качество каши можно рассматривать, как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, качество каши не понижается с добавкой масла.

Количество масла Качество каши Рис. 2 Подобного рода функции называются монотонно не убывающими

«Мера» Расстояние Рис.3 Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой»

y x0 x y 0 y=1 y=-1 y=1 y=-1

издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствует: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, а дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают «глушить» друг друга.

Плотность посева Урожай (точка максимума) - максимум функции Рис. 4 Изобразим это в виде графика (рис.4). Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы «вершина горы», с которой все доро- ги ведут вниз, куда ни шагни.

Время Работа Время Работа Рис. 5 Рис.6

Количество алкоголя Мера ума Функция, которая показывает, как из- меняется мера ума по мере потребле- ния алкоголя, моно- тонно убывающая функция

характерные свойства функций проиллюстрировали с помощью пословиц и выяснили, что это способствует лучшему усвоению основных свойств функций и глубокого понимания богатства смысла и краткости народного языка.

Проект «Различные способы решения квадратных уравнений»

Цели проекта Обобщить и систематизировать различные способы решения квадратных уравнений; Проследить исторические этапы развития математики; Научиться выбирать оптимальный, оригинальный способ решения задач; Развить умения самостоятельно анализировать полученную информацию и выдвигать гипотезы; Совершенствовать навыки исследовательской, творческой деятельности

Содержание История возникновения Решение по формуле Теорема Виета Способ «переброски» Свойства корней уравнения Графическое решение Геометрический способ

История квадратного уравнения Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Решение квадратных уравнений по формуле Виета

Теорема Виета Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x²в котором равен единице) x²+ px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: x 1 + x 2 = -p x 1 x 2 = q В случае не приведенного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0: x 1 + x 2 = -b / a x 1 x 2 = c / a

Отсюда можно сделать следующий выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p > 0, то оба корня отрицательны, если p < 0, то оба корня положительны. Например. х²- 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q =21 и p =-(2+1)= - 3; х²+ 8х + 7 = 0; х1 = - 7 и х2 = - 1, так как q =-7 (-1)= 7 и p =-(-7-1)= 8.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0. Например. х ²+ 4х – 5 = 0; х 1 = - 5 и х 2 = 1, так как q = -5 1=- 5 и p =-(-5+1)= 4. х² - 8х – 9 = 0; х 1 = 9 и х 2 = - 1, так как q = -1 9=-9 и p =-(9-1)=- 8.

Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение: ax² +bx +c=0, где a 0. Умножая обе его части на a, получаем уравнение: Пусть ax = y, откуда x = y/a ; тогда приходим к уравнению: y ² + by+ ac =0, равносильного данному.Его корни y 1 и y 2 найдём с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Окончательно получаем x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 / a.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Примеры. Решим уравнение 2x²-11x+15=0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: y²-11y+30=0. Согласно теореме, обратной теореме Виета y 1 =5, y 2 =6. Следовательно, x 1 = 5/2 =2,5; x 2 =6/2= 3. Ответ: 2,5; 3.

Решим уравнение Решение. Используя метод « переброски», получим уравнение По теореме, обратной теореме Виета Следовательно,

Решите уравнения, используя метод «переброски»: 2x²-9x+9=0; 10x²- 11x+3=0 ; 3x²+11x+6=0 ; 4x²+12x+5=0 ; 3x²+x-4=0 ; 5x²- 11x+6=0 ; 2x²+x- 10=0 ; 6x²+5x-6=0.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0, где а0. Если a+b+c=0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 =1, x 2 =c/a. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение x² + x b/a + c/a=0. Согласно теореме Виета x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 =c/a. По условию a+b+c=0, откуда b = -a -c. Значит, x 1 +x 2 =1+c/a, x 1 x 2 =1c/a. Получаем, x 1 =1, x 2 =c/a, что и требовалось доказать. Если a-b+c=0, или b = c +a, то x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Примеры. Решим уравнение 345x²-137x-208=0. Решение. Так как a+b+c=0 ( =0), то x 1 =1, x 2 =c/a=-208/345. Ответ: 1; - 208/345. Решим уравнение 132x-247x+115=0. Решение. Так как a+ b+ c=0 ( =0), тоx 1 =1, x 2 =115/132.

Б. Если второй коэффициент b=2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде x 1 =(-k+ k-ac)/a;x 2 =(- k- k-ac)/a. Пример. Решим уравнение 3х²-14х+16=0. Решение. Имеем: а=3, b=-14, с=16, k=-7; D=k²-ас =(-7)²-3·16=49- 48=1, D>0, два различных корня; x 1 =(7-1)/3; x 2 =(7+1)/3; х 1 =2, х 2 = 8/3. Ответ:2; 8/3. Решите уравнения по формуле: 4х²- 36х+77=0; 4х²+20х+25=0; 15х²-22х-37=0; 9х²-12х+4=0.

Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении x2 +px+q=0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим: x2 = -px - q

Построим графики зависимостей y=x2 и y= -px – q. График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: -прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; -прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; -прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры Решим графически уравнения: x2 - 3х – 4 = 0 ; x2 – 2х + 1 = 0; x2 – 2х + 5 = 0.

Решим графически уравнение: x2 - 3х – 4 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде: x2 = 3х +4 Построим параболу: Y = x2 и прямую Y = 3х +4. Прямую можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами X1 = - 1 и x2 = 4 Ответ: X1 = - 1, x2 = 4.

Решим уравнение x2 – 2х + 1 = 0 Запишем уравнение в виде X2 = 2x – 1. Построим параболу y=X2 и прямую y = 2x -1. Прямую y = 2x -1 построим по двум точкам M(0;-1) и N(0,5;0). Прямая и парабола пересекаются в одной точке А с абсциссой X=1. Ответ:X=1

Запишем уравнение в виде x2 = 2х - 5. Построим параболу y = x2 и прямую y =2x – 5. Прямую y = 2x -5 построим по двум точкам M(0; -5) и N(2,5;0). Прямая и парабола не имеют точек, т.е. уравнение корней не имеет. Ответ: уравнение x2 – 2х + 5 = 0 корней не имеет. Решим уравнение x2 – 2х + 5 = 0

Решите графически уравнения x2 – 4х + 4 = 0 ; x2 – 2х - 3 = 0 x2 + 2х - 3 = 0 ; x2 – х - 6 = 0 4x2 – 4х - 1 = 0 ; x2 + 4х + 6 = 0

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведём ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал- Хорезми.

Примеры. 1.Решим уравнение В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». Решение. Рассмотрим квадрат со стороной x, на его сторонах строятся прямоугольники так, так что другая сторона каждого из них равна, следовательно, площадь каждого равна. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них, а площадь.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата, четырёх прямоугольников и четырёх пристроенных квадратов, т. е.. Заменяя числом 39, получим, что S=39+25=64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок AB=8. Для искомой стороны x первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение Решение представлено на рисунке, где, или Решение. Выражение и геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что, или ;

Спасибо за урок! Мы рассмотрели различные способы решения квадратных уравнений в разные исторические эпохи. Теперь необходимо научиться из нескольких решений выбирать наиболее оригинальное, оптимальное. Так вырабатывается опыт.