Пифагоровы тройки Работу выполнили ученики 8 «А» класса Петросян Арнольд, Романец Антон NEXT

Немного из истории О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. NEXT

Пифагоровы тройки NEXT По открытой еще древними математиками истине, данные числа удовлетворяют диофантову уравнению. x2 + y2 = z2 По открытой еще древними математиками истине, данные числа удовлетворяют диофантову уравнению. x2 + y2 = z2 Таковы, например: x = 3, y = 4, z = 5 или x = 5, y = 12, z = 13. Все тройки взаимно простых Пифагоровых чисел можно получить изаналитических формул: x = u2 – v2, y = 2uv, z = u2 + v2, Таковы, например: x = 3, y = 4, z = 5 или x = 5, y = 12, z = 13. Все тройки взаимно простых Пифагоровых чисел можно получить из аналитических формул: x = u2 – v2, y = 2uv, z = u2 + v2, где u и v принадлежат натуральному ряду, u > v > 0 Если u и v взаимно простые, то сумма их квадратов образует особую группу целых положительных чисел z. Например, = 5, = 10, = 13 и так далее. Предположительная особенность такова. Если n = 1, 2, 3, …, Если u и v взаимно простые, то сумма их квадратов образует особую группу целых положительных чисел z. Например, = 5, = 10, = 13 и так далее. Предположительная особенность такова. Если n = 1, 2, 3, …,

Пифагоровы тройки Однозначно существует только при упомянутых выше значениях z. Если это действительно так, то Пифагоровы тройки являются частными решениями соотношения (3). Из сказанного следует, что скорее всего нет ни одного целочисленного тождества для x2 + y2 = 6n, но зато существует хотя бы один набор x, y, n при котором реализуется уравнение x2 + y2 = 5n Например: = 54 ; =511. Однозначно существует только при упомянутых выше значениях z. Если это действительно так, то Пифагоровы тройки являются частными решениями соотношения (3). Из сказанного следует, что скорее всего нет ни одного целочисленного тождества для x2 + y2 = 6n, но зато существует хотя бы один набор x, y, n при котором реализуется уравнение x2 + y2 = 5n Например: = 54 ; =511. Подчеркнутый вариант – это первая Пифагорова тройка. Наверное, достаточно лишь понять законы изменения последовательностей чисел x и y, чтобы найти общий метод поиска остальных троек чисел. Подчеркнутый вариант – это первая Пифагорова тройка. Наверное, достаточно лишь понять законы изменения последовательностей чисел x и y, чтобы найти общий метод поиска остальных троек чисел. Приведем еще несколько результатов: Приведем еще несколько результатов: = 101 ; = 102 ; = 103; = 101 ; = 102 ; = 103; = 104 ; = 105 ; = = 104 ; = 105 ; = 106. Выражение (3) перепишем в виде:x2 + y2 = (u2 + v2)n, ( 4 ) Выражение (3) перепишем в виде:x2 + y2 = (u2 + v2)n, ( 4 ) где значения u и v - такие же, как и в (2). NEXT

Таблица Паскаля Сначала построим своеобразную Таблицу Паскаля, позволяющую не только получать биноминальные коэффициенты, но и определять знаки перед ними: NEXT

1. Если показатель степени n - число нечетное, то достаточно получить выражение только для x, а уж y формируется путем формальной замены u на v и v на u.Итак, пусть n = 7. Находим по таблице нужную строку. Биноминальные коэффициенты: 1, - 7, - 21, 35, 35, - 21, - 7, 1. Знаки перед числами зависят от цвета поля, где они находятся. Если цвет малиновый, то ставится плюс, если же голубой, то минус. Для формирования x и y потребуется лишь половина этих цифр: 1. Если показатель степени n - число нечетное, то достаточно получить выражение только для x, а уж y формируется путем формальной замены u на v и v на u.Итак, пусть n = 7. Находим по таблице нужную строку. Биноминальные коэффициенты: 1, - 7, - 21, 35, 35, - 21, - 7, 1. Знаки перед числами зависят от цвета поля, где они находятся. Если цвет малиновый, то ставится плюс, если же голубой, то минус. Для формирования x и y потребуется лишь половина этих цифр: x = | u7 – 7 v6 u – 21 u5 v v4 u3 | x = | u7 – 7 v6 u – 21 u5 v v4 u3 | Если отказаться от модуля, то может получиться отрицательное значение x, что тоже, однако, является решением. Здесь многочлен всегда начинается с un. Затем во втором слагаемом появляется vn- 1, в третьем un-2 и так далее. Начиная со второго члена приписывается сомножитель-дополнение. Сумма их показателей степени всегда равна n. Если отказаться от модуля, то может получиться отрицательное значение x, что тоже, однако, является решением. Здесь многочлен всегда начинается с un. Затем во втором слагаемом появляется vn- 1, в третьем un-2 и так далее. Начиная со второго члена приписывается сомножитель-дополнение. Сумма их показателей степени всегда равна n. ( например, = 7, = 7 и так далее). ( например, = 7, = 7 и так далее). Параметр y по структуре такой же, как (5) : Параметр y по структуре такой же, как (5) : y = | v7 – 7 u6 v – 21 v5 u u4 v3 | y = | v7 – 7 u6 v – 21 v5 u u4 v3 | Таблица Паскаля NEXT

Свойство Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же x, y, z число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть взаимно простые числа. Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же x, y, z число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ( = 5 2 ). Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ( = 5 2 ). NEXT

Примеры Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные): Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9,40,41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)… (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9,40,41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)… NEXT

Конец