Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 15. Лекция 15 Уравнение Лагранжа II рода. Кинетический потенциал. Пример решения задачи на применение уравнения Лагранжа II рода. Вариационный принцип Гамильтона- Остроградского. Понятие об устойчивости состояния равновесия системы в потенциальном поле.

2121 Лекция 15 Уравнение Лагранжа II рода – Уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения системы относительно обобщенных координат системы. Воспользуемся общим уравнением динамики: где бA – возможная работа всех задаваемых сил и сил инерции на любом возможном перемещении. 1. Зададим возможные перемещения точек системы, вызванные бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат: Вычислим возможную работу заданных сил и сил инерции: Перегруппируем суммы произведений: или QjQj QjФQjФ Приращения обобщенных координат произвольны и независимы друг от друга. Поэтому в полученном уравнении все коэффициенты при них (обобщенные силы) должны быть равны нулю: - уравнения движения системы, эквивалентные общему уравнению динамики. 2. В обобщенные силы инерции Q j Ф входят массы и ускорения точек системы. Попытаемся выразить эти силы через скорости точек и в конечном итоге через кинетическую энергию: Добавим к этому выражению два одинаковых слагаемых разного знака и следующего вида: Вычислим частную производную кинетической энергии системы по обобщенной координате: Вычислим производную по времени от частной производной кинетической энергии системы по обобщенной скорости: Производная по обобщенной скорости имеет аналогичное выражение: Таким образом: Подставим в уравнение движения: Отсюда: - уравнения Лагранжа II рода. Для консервативных (потенциальных) сил:

Лекция 15 ( продолжение – 15.2 ) 2 Кинетический потенциал – функция, определяемая выражением: L = T – П - функция Лагранжа, где и Кинетический потенциал L будет также функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени: Определим кинетическую энергию через кинетический потенциал как T = L + П и вычислим необходимые частные производные, участвующие в уравнении Лагранжа II рода: = 0, т.к не зависит от или a 2. Покажем заданные силы: 3. Упругую связь (пружину) заменяем реакцией и включаем ее в число заданных сил: 4. Определим проекции возможных перемещений (вариации координат) точек приложения сил: A B x y 5. Определим обобщенную силу Q: 6. Вычислим кинетическую энергию: Составляем уравнение Лагранжа II рода: Пример 1. Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью. При = 0 пружина не деформирована. Жесткость пружины c. Длина каждого из стержней l. Плечо подвески a. Вес каждого из шаров G, вес муфты G 1. Определить угловую скорость установившегося вращения для данного угла. 1.Система имеет 2 степени свободы (поворот вокруг оси и изменение угла наклона стержней подвески). При установившемся вращении рассматриваем только изменение угла наклона и выбираем его в качестве обобщенной координаты q =. После подстановки R находим :

Лекция 15 ( продолжение – 15.3 ) Обобщенные силы Q 1, Q 2 были вычислены в примере: 3. Вычислим кинетическую энергию: Пример 2. Для механической системы трех грузов с двумя неподвижными и одним подвижным блоками определить ускорения грузов. 1.Система имеет 2 степени свободы (см. пример вычисления обобщенных сил Лекция 14, стр.19).Лекция 14, стр.19 Уравнения Лагранжа имеют следующий вид при выборе обобщенных координат q 1 = s 1 и q 2 = s 2 : s2s2 s1s1 4. Вычислим частные производные кинетической энергии: 5. Вычислим производные по времени: 6. Подставим полученные выражения и обобщенные силы в уравнения Лагранжа: Или: Неизвестные (независимые) ускорения: При равенстве масс M 1 =M 3 =M, как например, в задаче М [2]:

Лекция 15 ( продолжение – 15.4, дополнительный материал ) 24 Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского – устанавливает, какому соотношению удовлетворяет действительное движение механической системы в некотором интервале времени в отличие от всех иных возможных движений (перемещений) – кривых сравнения. Кривая сравнения соответствует движению, допускаемому существующими связями, бесконечно близкому к действительному. Общее уравнение динамики имеет вид: или Первое слагаемое – работа задаваемых сил на возможном перемещении системы (бA). Попробуем представить второе слагаемое в виде совокупности членов, содержащих скорости и в конечном счете кинетическую энергию: Таким образом, общее уравнение динамики принимает вид: Потребуем, чтобы на границах интервала времени [t 1,t 2 ] действительная траектория совпадала с кривой сравнения: t=t1t=t1 t=t2t=t2 Данное требование эквивалентно отсутствию вариации перемещений в начале и в конце интервала [t 1,t 2 ], например, при рассмотрении свободных колебаний можно задаться формой решения: Такая вариация координаты обращается в нуль на концах интервала [0,T/2], где T – период колебаний (2π/k). Полученное общее уравнение динамики в дифференциальной форме справедливо в любой момент времени рассматриваемого интервала. Умножим его на dt и проинтегрируем по всему интервалу: = 0 Отсюда получаем вариационный принцип Гамильтона-Остроградского: -Только для действительного движения системы с голономными, двухсторонними и идеальными связями для данных условий интеграл по рассматриваемому интервалу времени суммы вариаций работы заданных сил и кинетической энергии равен нулю. В случае потенциальных (консервативных) сил: где, L = T – П - функция Лагранжа. Введем подобно импульсу действия силы интеграл вида - действие по Гамильтону. Тогда получаем вариационный принцип Гамильтона-Остроградского в другой форме: -Только для действительного движения консервативной системы с голономными, двухсторонними и идеальными связями для данных условий вариация интеграла S по рассматриваемому интервалу времени равна нулю или действие по Гамильтону имеет стационарное значение. (uv)=uv+uv или -uv=-(uv)+uv бAбA бT – d(…)/dt

Лекция 15 ( продолжение – 15.5, дополнительный материал ) 25 Вывод уравнения Лагранжа из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского – установленный принцип Гамильтона- Остроградского позволяет получить уравнение Лагранжа II рода: Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского: Подставим вариации работы и кинетической энергии в принцип Гамильтона-Остроградского: Возможная работа, выраженная через обобщенные силы: Вариация кинетической энергии в каждый момент времени: или Проинтегрируем члены с вариацией обобщенной скорости по частям: U dV U V V dU = 0 На границах интервала бq j = 0 Таким образом, принцип Гамильтона-Остроградского принимает вид: или Равенство нулю подынтегральной функции должно выполняться при любых значения вариации обобщенной координаты. Следовательно, для каждой из обобщенных координат коэффициенты при вариациях должны быть равны нулю: Понятие об устойчивости равновесия механической системы – Состояние покоя (равновесия) механической системы в консервативном (потенциальном) поле может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным: Устойчивое – если система, выведенная из положения равновесия, возвращается в это положение и совершает колебания около него. Неустойчивое – если система, выведенная из положения равновесия при сколь угодно малом отклонении от него, не возвращается в положение равновесия и не совершает колебания около него. Безразличное - если система, выведенная из положения равновесия, занимает новое положение равновесия.

Лекция 15 ( продолжение – 15.6, дополнительный материал ) 26 Уравнения равновесия в обобщенных координатах (в обобщенных силах): По определению обобщенной силы для консервативной системы: Отсюда следует, что положению равновесия (покоя) консервативной системы соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы. При этом по обращению в нуль частной производной потенциальной энергии нельзя судить об устойчивости состояния покоя (равновесия) в этих положения системы. Условие устойчивости состояния покоя устанавливается критерием Лагранжа-Дирихле: Те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя: - условие минимума потенциальной энергии. Если вторая производная потенциальной энергии меньше нуля, то это соответствует случаю неустойчивого положения равновесия. Если вторая производная потенциальной энергии равна нулю, то она не может служить критерием минимума потенциальной энергии и для решения вопроса об устойчивости положения равновесия необходимо последовательно исследовать знаки производных более высокого порядка: Если первая по порядку, ненулевая производная потенциальной энергии, имеет четный порядок и больше нуля, то это соответствует минимуму потенциальной энергии (положение равновесия устойчивое). Если первая по порядку, ненулевая производная потенциальной энергии, имеет нечетный порядок, то потенциальная энергия не имеет экстремума (нет ни минимума, ни максимума), соответствует безразличному состоянию равновесия. Пример. Метроном представляет собой маятник с двумя грузами: A – неподвижный, весом G A, B – перемещаемый, весом G B. Определить условия устойчивого и неустойчивого положения равновесия. A B LALA LBLB x y Выберем в качестве обобщенной координаты угол отклонения стержня метронома от вертикали, φ : φ Потенциальная энергия системы грузов: Условие равновесия системы грузов: Исследуем устойчивость равновесия системы грузов при выполнении условий (a) и (b): При выполнении условия (a) (G A L A =G B L B ) вторая производная, как и все последующие, обращается в нуль. Это соответствует безразличному состоянию равновесия. Если G A L A >G B L B и φ =0 вторая производная оказывается больше нуля и это соответствует устойчивому состоянию равновесия. Если G A L A >G B L B и φ =180 о вторая производная оказывается меньше нуля и это соответствует неустойчивому состоянию равновесия.