Динамика вращательного движения

План лекции Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела Изменение момента инерции тела при переносе оси вращения. Теорема Штейнера Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси Момент импульса. Закон сохранения момента импульса Кинетическая энергия вращающегося тела.

Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела 1.

При вращательном движении наряду с понятием «масса» вводится понятие «момент инерции» J Масса - мера инертности тела при поступательном движении. (1)

Момент инерции материальной точки вращающейся вокруг неподвижной оси, равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния до оси. Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Тело, не поддающееся деформации, называется абсолютно твердым.

Момент инерции твердого тела Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерций материальных точек, из которых это тело состоит Если тело имеет равномерно распределенную массу, то момент инерции определяется интегрированием (2) (3)

Размерность момента инерции определяется из соотношения [кг·м 2 ] Момент инерции твердого тела

Для тел правильной геометрической формы выведены формулы для расчета момента инерции. Рассмотрим случай, когда ось вращения проходит через центр масс этих тел. 1.Стержень гдеm – масса тела; l – длина стержня (4)

2. Диск (5) гдеm – масса диска;R – радиус 3. Кольцо (тонкостенный цилиндр) (6)

Шар 4. Шар (7)

Момент инерции Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения. Но если масса считается величиной постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения.

Изменение момента инерции тела при переносе оси вращения 2.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, то легко может быть найден и момент инерции относительно любой оси, параллельной первой. Теорема Штейнера где J c – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести m – масса диска d – расстояние между осями (8)

Теорема Штейнера: Момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр тяжести, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния от центра тяжести тела до оси вращения.

Теорема Гюйгенса – Штейнера Теорема Гюйгенса – Штейнера (для стержня)

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси 3.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О–О. Разобьем это тело на элементарные участки. Выбираем произвольную материальную точку m i, принадлежащую этому телу. Точка вместе с вращающимся телом описывает окружность. Проведем от точки линию и обозначим ее R i. Приложим к точке силу F i o RiRi FiFi mimi

Под действием силы F i, направленной перпендикулярно к оси по касательной к окружности, описываемой материальной точкой, движущаяся точка начнет вращательное движение. По второму закону Ньютона., (10)

Используем формулу, устанавливающую связь между линейной и угловой скоростью где – угловая скорость; у всех точек вращающегося тела она одинакова Подставим значение линейной скорости в формулу ускорения (11) (12)

Подставим значение ускорения во второй закон Ньютона умножим обе части последнего равенства на Ri и просуммируем его (13) (14)

- момент силы М -момент инерции -угловое ускорение где:

Основное уравнение динамики вращательного движения или второй закон Ньютона для вращательного движения. Момент вращающейся силы приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Выразим угловое ускорение: (15) (16)

Угловое ускорение вращающегося тела Угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально суммарному моменту всех сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела. Подставим значение в формулу (15) и подведем момент инерции под знак дифференциала. (17)

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса 4.

Величину J формулы (17) обозначим как L (18) импульс тела момент импульса – это физическая величина, равная произведению момента инерции тела на угловую скорость. Если момент внешних сил, приложенных к телу, равен нулю (М = 0), то есть

Дифференциал равен нулю, когда значение числа под дифференциалом постоянно, а это может быть только в том случае, если момент импульса Закон сохранения момента импульса Закон сохранения момента импульса при отсутствии момента сил (М = 0), момент количества движения остается постоянным (L = const).

Кинетическая энергия вращающегося тела 5.

При поступательном движении кинетическая энергия тела определяется по формуле (для материальной точки) Кинетическая энергия материальной точки m i, вращаясь вокруг оси с линейной скоростью V i, определяется (19) (20)

Подставим значение линейной скорости в формулу кинетической энергии. Для всего тела (21) (22)

кинетическая энергия вращающегося тела Если тело одновременно участвует во вращательном и поступательном движениях, то его полная энергия определится по формуле: (24) (23)

Поступательное движениеВращательное движение Линейная скоростьУгловая скорость Линейное ускорениеУгловое ускорение СилаМомент силы ИмпульсМомент импульса Механическая работаРабота МассаМомент инерции Второй закон Ньютона Кинетическая энергия P =L= mJ