ЗАКОНЫ НЬЮТОНА КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА.

Динамика (от греческого dynamis сила) – раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе классической динамики лежат законы Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики. Как и другие принципы, лежащие в основе физики, они являются обобщением опытных фактов.

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона В различных системах отсчета законы движения имеют, в общем случае, различный вид. Однако всегда можно найти такую систему отсчета, в которой законы механики имеют наиболее простой вид. Это система отсчета с однородным и изотропным пространством и однородным временем. Такая система отсчета называется инерциальной.

В инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. – это утверждение составляет содержание первого закона Ньютона закона инерции. Стремление тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.

Во всех инерциальных системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея. Координаты одной и той же точки в разных системах отсчета K 1 и K 2, из которых K 1 движется относительно K 2 со скоростью, связаны друг с другом соотношением

7 Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений механики по отношению к преобразованиям Галилея: t 1 = t 2 = t,

Из первого закона следует важный физический принцип: существование инерциальной системы отсчета. Смысл первого закона состоит в том, что если на тело не действуют внешние силы, то существует система отсчета, в которой оно покоится. Следствием первого закона Ньютона является утверждение, что если наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета, а это удостоверяет покоящееся в ней тело, то все прочие тела, на которые не действуют силы, будут также находиться в покое или двигаться с постоянной скоростью.

Второй закон Ньютона. Второй закон Ньютона количественно определяет, как изменяется состояние движения тела под действием внешних сил. Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую состояние движения тела.

Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Мера инертности тела называется массой. Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит.

Для системы из двух материальных точек В инерциальной системе отсчета изменение импульса материальной точки со временем представляется уравнением:

Для медленных движений, когда импульс пропорционален скорости: Величина F, равная скорости изменения импульса во времени, называется силой, действующей на рассматриваемую материальную точку.

Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения – уравнениями движения материальной точки

Третий закон Ньютона Третий закон динамики Ньютон сформулировал так: Действию всегда есть равное и противоположное противодействие; иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны. Третий закон отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия двух различных тел.

Третий закон ничего не говорит о величине сил, а только о том, что они равны. Здесь очень важно отметить, что в третьем законе идет речь о силах, приложенных к различным телам. Он выполняется в случае контактных взаимодействий, т.е. при соприкосновении тел, а также при взаимодействии тел, находящихся на расстоянии друг от друга, но покоящихся друг относительно друга.

Закон изменения импульса Принято силы, с которыми взаимодействуют между собой составные части системы, называть внутренними силами. Внешними называются силы, с которыми вся система или отдельные тела, входящие в ее состав, взаимодействуют с окружающими телами. Третий закон Ньютона в соединении с его первым и вторым законами позволил перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной механической системы.

Обозначим – результирующая всех внешних сил приложенных к i-ой точке системы. По второму закону Ньютона можно записать систему уравнений: ,

Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы и По третьему закону Ньютона, тогда Назовем – главным вектором всех внешних сил, тогда:

Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему. Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел. Так как импульс системы то

Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то Закон сохранения импульса следовательно, р = const. То есть, если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется со временем.

Система тел называется замкнутой (или изолированной), если можно пренебречь действием внешних сил по сравнению с внутренними. Закон сохранения импульса

Суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых процессах, происходящих в этой системе. Закон сохранения импульса

Отсюда Для системы из N тел:

Сумма в левой части – суммарный импульс системы: Следовательно, - закон сохранения импульса в дифференциальной форме

Векторная сумма количества движения или полный импульс замкнутой системы остается постоянным при любых взаимодействиях между телами этой системы. Этот закон является фундаментальным и выполняется при любых движениях, в том числе и релятивистских. Из закона сохранения импульса вытекает два важных следствия закон движения центра инерции и закон аддитивности массы.

Центр инерции и закон его движения Точку C, которая делит расстояние между частицами на отрезки, обратно пропорциональные массам этих частиц, назовем центром инерции (или центром масс) данной системы частиц.

Поскольку L 1 =Xс X 1, L 2 =X 2 Xс, где Xс- координата центра инерции, то откуда

Для системы из N материальных точек, расположенных произвольным образом: Аналогичные выражения получаются для ординаты Yс и аппликаты Zс центра инерции системы материальных точек.

Центром инерции (центром масс) системы частиц с радиус-векторами называют точку с радиус-вектором Определим радиус-вектор центра инерции:

Тогда движение центра инерции для системы частиц (в том числе для тела любой формы конечных размеров) можно описать следующим образом

Если сумма внешних сил не равна нулю, то движение центра инерции можно рассматривать как движение материи, в которой сосредоточена вся масса системы и координаты совпадают с центром масс: Аддитивностью вообще, называют свойство, состоящее в том, что величина, характеризующая систему в целом, складывается алгебраически из величин того же рода, характеризующих каждую часть системы.

Записав выражение для Xc для двух моментов времени и вычитая одно из другого, получим: С учетом Характер движения центра инерции определим для случая m=const.

Центром инерции системы называется точка, скорость которой равна отношению суммарного импульса системы к ее суммарной массе.

Отсюда, центр инерции замкнутой системы совершает инерциальное движение, т.е. движется прямолинейно и равномерно независимо от того, как движутся отдельные тела, из которых составлена система. Под действием внутренних сил скорость движения центра инерции не меняется. Если система частиц замкнута, то ее суммарный импульс является постоянной величиной.

Движение тел с переменной массой Импульс системы: Полный импульс системы частиц равен произведению полной массы системы М на скорость её центра масс

где – внешняя результирующая сила, приложенная к системе. Необходимо очень тщательно определять систему и учитывать все изменения ее импульса. При условии, что M =const, получим:

Ракета ускоряется силой, действующей на нее со стороны газов. Масса М ракеты все время уменьшается, т.е. Рассмотрим движение тел с переменной массой на примере движения ракеты, которая движется вперед за счет выбрасывания назад сгоревших газов.

Реактивное движение основано на принципе отдачи. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью Пусть M(t), υ(t), Mυ(t) – масса, скорость и импульс ракеты в момент времени t. Спустя время dt масса ракеты уменьшится на dM, скорость увеличится на dυ, а изменение импульс системы станет равным где υ Г dm Г – импульс газов, образовавшихся за время dt.

Воспользуемся законом сохранения массы: и введем так называемую скорость газовой струи (скорость истечения газов относительно ракеты) : Получим:

Величина, добавляемая к силе F – реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение впервые получено русским механиком Мещерским И.В. и носит название уравнение Мещерского.

При отсутствии внешних сил, действующих на ракету, уравнение приобретает вид: Решение этого уравнения дает конечную скорость ракеты:

М 0 и М – начальная и конечная массы ракеты. Соотношение называют формулой Циолковского. Из нее следует, что для достижения скорости υ, в 4 раза превышающей по модулю относительную скорость выбрасываемых газов, стартовая масса одноступенчатой ракеты должна, примерно в 50 раз, превышать ее конечную массу.