ЗДРАВСТВУЙТЕ!

Лекция 9. Динамика вращения твердых тел 1. Особенности вращательного движения.Особенности вращательного движения. 2. Кинетическая энергия и момент инерции.Кинетическая энергия и момент инерции. 3. Зависимость момента инерции относительно оси вращения.Зависимость момента инерции относительно оси вращения. 4. Момент силы.Момент силы. 5. Условия равновесия тела, имеющего ось вращения.Условия равновесия тела, имеющего ось вращения. 6. Момент импульса и основное уравнение динамики.Момент импульса и основное уравнение динамики. 7. Закон сохранения момента импульса.Закон сохранения момента импульса. 8. Аналогия между величинами при поступательном и вращательном движениях.Аналогия между величинами при поступательном и вращательном движениях. 9. Гироскопы.Гироскопы.

1. Особенности вращательного движения Рассмотрим вращательное движение абсолютно твердого тела. Вращающиеся тела часто встречаются на практике – это всевозможные маховики, валы, роторы генераторов и двигателей, винты, сверла, фрезы т.п. В общем случае это вращение вокруг неподвижной точки, которое можно свести к трем независимым вращением вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. Ось может быть: неподвижной, перемещающейся в пространстве, совсем свободной. При наблюдении за вращательным движением прежде всего бросается в глаза устойчивость, приобретаемая телом при вращении. Можно предположить, что тело, вращающееся вокруг оси, проходящей через центр

масс, если оно свободно от внешних воздействий, должно сохранять свое состояние неопределенно долго. Такое заключение аналогично первому закону Ньютона для поступательного движения. Внешнее воздействие приводит к изменению состояния вращательного движения тела. Это утверждение аналогично второму закону Ньютона. Однако результат действия силы (ускорение движения) зависит не только от силы и от массы приводимого в движение тела, но и от того, где расположена точка приложения силы и как расположена масса тела относительно оси вращения. При изучении законов движения материальной точки мы ввели ряд динамических величин: импульс, силу, кинетическую энергию и т.п.

Фактически мы пользовались этими величинами и для описания законов поступательного движения твердого тела. Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела движутся по окружностям (концентрическим), центры которых лежат на оси вращения. Все эти точки движутся с разными линейными скоростями, а одинаковой является для них угловая скорость ω. Если же твердое тело вращается, то все его динамические характеристики можно выразить через угловую скорость, ибо линейные скорости разных точек твердого тела различны. Именно по этой причине мы вынуждены будем ввести в данном случае ряд новых физических величин: момент инерции, момент силы и момент импульса. Содержание

2. Кинетическая энергия и момент инерции Прежде всего, найдем выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Задачу будем решать в приближении ньютоновской механики, т.е. при условии, что все точки движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Для упрощения задачи вначале рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, а затем обобщим результат на любое твердое тело.

Пусть две материальные точки с массами m 1 и m 2 расположены на расстояние l друг от друга. Будем считать систему жесткой, т.е. расстояние между точками не меняется. Система вращается вокруг оси с угловой скоростью ω. Тогда линейная скорость первой точки V 1 = r 1 ·ω, скорость второй точки V 2 = r 2 ·ω, где r 1 и r 2 – расстояние материальных точек до оси вращения.

Кинетическая энергия материальных точек: (9.1) Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит: (9.2)

Физическая величина (9.3) называется моментом инерции системы материальных точек. Он характеризует распределение масс этих точек относительно оси вращения. Подставив (9.3) в (9.2), получим (9.4) Единицей момента инерции в СИ служит килограмм на метр в квадрате (кг м 2 ).

Итак, кинетическая энергия системы материальных точек равна половине произведения момента инерции этой системы на квадрат угловой скорости вращения. Если система состоит не из двух, а из n материальных точек, то выражение для её кинетической энергии сохраняется, но момент инерции имеет вид: (9.5)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: (9.6) где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z. Итак, величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси.

Примеры: момент инерции сплошного тела - однородного цилиндра радиуса R относительно оси симметрии Момент инерции тонкостенного полого цилиндра радиуса R относительно оси симметрии Таким образом, момент инерции зависит от формы, массы, размера тела и различен относительно разных осей вращения.

Задача 1. Найти момент инерции сплошного тела - однородного цилиндра радиуса R относительно оси симметрии. Задача 2. Найти момент инерции тонкостенного полого цилиндра радиуса R относительно оси симметрии.

3. Зависимость момента инерции относительно оси вращения Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от положения оси вращения. Это непосредственно следует из выражения (9.5). Действительно, если перенести ось, то r 1, r 2,…,r n станут другими, в результате чего и момент инерции окажется иным. Вычислим моменты инерции системы из двух материальных точек относительно двух осей, параллельных друг другу и перпендикулярных плоскости чертежа (рис. 9.2). Расстояние между осями AC = l.

Момент инерции системы относительно оси, проходящий через точку A: (9.7) Момент инерции той же системы относительно оси, проходящий через центр масс C: (9.8) По теореме Пифагора и Подставив в (9.7) и проделав несложные преобразования, получим с учетом (9.8) А R1R1 R2R2 lh c x r1r1 r2r2 m1m1 m2m2 Рис. 11.2

Но h 2 +x 2 =l 2 ; из определения «центра масс» следует, что m 1 r 1 =m 2 r 2. Следовательно J = J 0 + ml 2 (9.9) Итак, момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси равен моменту инерции этой системы относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).

Из теоремы Штейнера следует, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через её центр масс. для оси ОО` для оси ЕЕ`. Содержание Задача 3. Показать, используя теорему Штейнера, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через её центр масс.

4. Момент силы Предположим, что на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси а, проходящей через точку О, действует постоянная сила F (рис.9.3). Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка. Положение точки приложения силы F определяется радиус–вектором r. Рис. 9.3 Рис. 9.4

Элементарная работа силы δА при повороте радиус- вектора r на угол dφ δА = Frsinαdφ, (9.10) где α – угол, образованный векторами r и F. Величина rsinα = l представляет кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Её называют плечом силы. Величина равная векторному произведению радиус-вектора r на силу F, носит название момента силы относительно точкиO(рис.9.4) М = [rF] (9.11) Вектор М образует с векторами r и F правовинтовую систему. Модуль этого вектора (9.11a)

Cледует иметь ввиду, что в механике принято различать момент силы относительно точки О и момент силы относительно оси вращения, на которой лежит данная точка. Первая величина, как мы только что видели, является вектором, а вторая – проекцией вектора М на ось а.

Если угол, образованный радиус-вектором r и осью вращения, равен π/2, то направление вектора М совпадает с осью вращения. Именно такой случай показан на рис. 9.3 и 9.4. Теперь возвратимся к выражению 9.10 и элементарную работу силы F выразим как произведение момента этой силы относительно оси на угол поворота радиуса- вектора dφ:

Если М и dφ имеют одинаковые знаки, то δА > 0; если же их знаки противоположны, то δА < 0. Но в соответствии с законом сохранения механической энергии элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела, так как его собственная потенциальная энергия не меняется. Поэтому Или после деления на промежуток времени dt, за который Произведена элементарная работа:

Поскольку то (9.12) где - суммарный момент импульса всех внешних сил относительно неподвижной оси вращения (если к телу приложено не одна, а несколько сил); - угловое ускорение тела относительно этой же оси. Справедливо также и уравнение (9.12а)

Данное уравнение носит название основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Из уравнения видно, что момент инерции определяет инерциальные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента силы тело приобретает тем меньшее угловое ускорение, чем большим моментом инерции оно обладает.

6. Момент импульса Если момент инерции тела является постоянным во времени, то уравнение можно записать так: (9.13) Величина носит название момента импульса относительно оси а. Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту силы относительно этой оси:

Момент импульса твердого тела можно рассматривать как сумму орбитальных моментов импульса всех частиц, из которых состоит тело. Тогда легко обнаруживается связь между импульсом и моментом импульса частицы. Эти два вектора вместе с радиусом- вектором r, определяющим положение частицы относительно некоторой произвольно выраженной точки на оси а, образуют правовинтовую систему: (9.14) Момент импульса относительно оси есть проекция вектора L на данную ось вращения (рис.9.5)

Если векторы М и L взяты относительно одной и той же точки, то для твердого тела (системы частиц) справедливо уравнение (9.15) Содержание Рис.9.5 Это уравнение носит название уравнения моментов. В динамике твердого тела оно занимает такое место, как в динамике материальной точки уравнение

Значение момента импульса не ограничивается лишь рамками классической механики. Он играет громадную роль и при анализе явлений, происходящих в немеханических системах. Единицей момента импульса в СИ служит килограмм - метр на секунду в квадрате (кг·м/с 2 ).

7. Закон сохранения момента импульса Во всех записанных нами уравнениях М является моментом внешней силы или равнодействующей внешних сил, сумма моментов внутренних сил всегда равна нулю. Это последнее утверждение принимается как постулат в механике Ньютона, дополнительно к законам Ньютона. Если система замкнута, то алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на тело, равна нулю, т.е. М = 0. Тогда из (9.15) следует, что и dL = 0, т.е. (9.16) в инерциальной системе отсчета суммарный момент импульса замкнутой системы частиц сохраняется.

Мы получили очень важный результат, который называется законом сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы частиц является постоянной величиной. Момент импульса может сохраняться и для незамкнутых систем. Если относительно некоторой точки О в выбранной системе отсчета суммарный момент внешних сил равен нулю, то согласно уравнению моментов сохраняется момент импульса относительно этой точки О. Если проекция суммарного момента всех внешних сил, например, на неподвижную ось равна нулю, то сохраняется не сам момент импульса, а его проекция на эту ось. Иначе говоря, в этом случае сохраняется момент импульса относительно оси:

(9.16) При этом сам импульс L относительно точки О на этой оси может изменяться. Сохранение момента импульса замкнутой системы допускает, что моменты импульса отдельных её частей могут со временем изменяться. Однако при всех изменениях убыль момента импульса одной части системы всегда равна приращению момента импульса другой её части. Из закона сохранения момента импульса в применении к вращению твердого тела относительно оси (9.17)

следует, что изменяя (увеличивая или уменьшая) каким- либо способом момент инерции тела во время вращения, можно изменять (уменьшать или увеличивать) в такое же число раз угловую скорость. Иллюстрацией могут служить, например, опыты на скамье Жуковского – подставке, свободно вращающейся в горизонтальной плоскости. Сидящий на скамье человек раскидывает или прижимает к туловищу руки и тем самым изменяет момент инерции (рис. 9.6). В соответствии с законом сохранения момента импульса её угловая скорость изменяется. Рис.9.6

8. Аналогия между величинами и соотношениями между ними при поступательном и вращательном движениях

Моменты инерции некоторых распространенных тел (относительно указанных на рисунках осей) МR2МR2 кольцо Кольцо толщиной R-r 1 Диск (край) Стержень-центр Стержень-край Сферическая оболочка Содержание Твёрдый шар

Поступательное движение Вращательное движение

Равнопеременное движение Равнопеременное движение

Содержание