КИНЕМАТИКА АСТЕРОИДА АПОФИС В ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Виктория И. Прохоренко Институт космических исследований РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика» 31 октября 2008

Аннотация Исследуется кинематика астероида Апофис в его движении относительно Земли. Производится сравнение результатов расчетов, основанных на Кеплеровском приближении, и прецизионных расчетов с учетом реальных возмущений. 2

Основные характеристики астероида (99942) Апофис Входит в группу околоземных объектов NEA (Near-Earth objects) Открыт в 2004 г Диаметр около 300 м Масса кг 3

NEA (Near-Earth objects) К апрелю 2008 г каталогизировано более 960 объектов с поперечным размером более 150 м, орбиты которых проходят на расстояниях менее 7.2 млн. км от орбиты Земли 4

Средние элементы орбиты Апофиса в гелиоцентрической эклиптической системе координат J2000 JPL Small-Body Database ( Большая полуось Эксцентриситет e = Наклонение i = Долгота восходящего узла = Аргумент перигелия = Время прохождения через перигелий = 2008 Apr Средняя аномалия M = Среднее движение n = /d Драконический период T = d 5

Орбита Земли (сплошная линия) и проекция на плоскость эклиптики орбиты астероида Апофис (пунктирная линия) в гелиоцентрической эклиптической системе координат (ось X направлена в точку равноденствия J2000) 6

Положение Земли (тонированные кружки) и проекции астероида Апофис на плоскость эклиптики (светлые кружки) в 0ч 14 числа каждого месяца в разные годы в гелиоцентрической эклиптической системе координат J2000. Штриховой линией соединены точки, соответствующие одному и тому же моменту времени (отмеченному номером месяца) а) в 2011 г б) в 2012 г 7

Движение астероида Апофис относительно Земли в геоцентрической эклиптической системе координат J2000. Тонированным кружком с центром в начале координат показана гравитационная сфера действия Земли в масштабе (5:1). Положение проекции астероида на плоскость эклиптики в 0ч UT 14 числа каждого месяца показано светлым кружком и отмечено номером месяца а) в 2011 г. б) в 2012 г. 8

Проекция на плоскость эклиптики траектории астероида в геоцентрической эклиптической системе координат на интервалах времени между годами, на которые приходятся соседние тесные сближения. Светлым кружком отмечена начальная точка, темным – конечная. а) с 14/IV/2008 по 31/XII/2013 б) c 1/I/2014 по 31/XII/2021 9

Проекция на плоскость эклиптики траектории астероида Апофис в геоцентрической эклиптической системе координат J2000 в промежутке времени с 1/I/2022 по 31/XII/2029 (а) И вход астероида в сферу действия Земли 13/IV/2029 (б) а) б) 10

Сравнение приближенных расчетов геоцентрического расстояния (млн. км) астероида Апофис в функции времени с прецизионными расчетами б) Результат прецизионных расчетов, выполненных в работе В.И. Ивашкина и К.А. Стихно [3]. Отсчет времени от 30/I/2005, T размечено годами с шагом пять лет. Метка 5 соответствует 30/I/2010, Метка 10 – 30/I/2015 и т.д. а) Результат расчетов положения Астероида в Кеплеровском приближении относительно Земли, положение которой рассчитывалось по теории Ньюкома. Отсчет времени от 14/IV/2008. Время на оси абсцисс размечено метками YY, соответствующими датам 30/I/ 20YY. 11

Облет Земли по гиперболической орбите 13/IV/ Тонированным кружком с центром в начале координат показана гравитационная сфера действия Земли в масштабе (1:1). v 5.79 км/с тыс. км 13.1 тыс. км e20.74 rprp 258 тыс. км тыс. км В таблице показаны элементы гиперболической орбиты облета, рассчитанные на основании приближенных начальных данных по формулам П.Е. Эльсберга [1965]. К сожалению, этот результат не может конкурировать с прецизионными расчетами, по которым минимальное геоцентрическое расстояние Апофиса при сближении 13/IV/2029 составляет около 44 тыс. км.

Продолжим изучение кинематики Рассмотрим проекции на плоскость эклиптики траектории Апофиса в инерциальной геоцентрической эклиптической системе координат на интервале времени с 14/IV/2008 по 1/I/2030 а) Маркером * отмечены точки, соответствующие положению астероида в 0ч UT 22/XII каждого года б) «Окружности», соответствующие положению астероида в 0ч UT 22/XII, 21/III, 23/VI в разные годы 13

Поступательное движение орбиты астероида (как целого) в геоцентрической эклиптической системе координат и область, «заметаемая» проекциями орбиты астероида на плоскость эклиптики при относительном движении Солнца вокруг Земли. Внешняя и внутренняя огибающие заметаемой области а) б) Внутренняя овальная область: X C = млн. км, Y C = млн. км, большая и малая полуоси ~19 млн. км и 12 млн. км 14

Замкнутые кривые, описываемые различными точками орбиты астероида в процессе поступательного движения орбиты в инерциальной геоцентрической эклиптической системе координат Замкнутая кривая, описываемая точкой афелия орбиты Апофиса представляет собой эллипс, фокус которого совпадает с точкой, через которую Солнце, проходит в 0ч UT 23/VIII. Линия апсид лежит на линии, проходящей через центр Земли и центр Солнца, большая полуось представляет собой полу-сумму (R E1 +R E2 )/2 расстояний от центра Земли до Солнца в даты 23/VIII и 19/II, а радиус перицентра совпадает с радиусом афелия R AА астероида. 2. Для перигелия аналогичный эллипс имеет то же значение большой полуоси, радиус перицентра совпадает с радиусом перигелия R PA астероида, а фокус совпадает с точкой, через которую Солнце, проходит в 0ч UT 19/II. 3. Каждой точке орбиты астероида соответствует своя замкнутая кривая, описываемая этой точкой в процессе годового относительного движения Солнца вокруг Земли (см. следующий слайд).

Еще один способ представления области, заметаемой орбитой астероида, с использованием замкнутых кривых, соответствующих различным точкам орбиты Апофиса. Внешняя и внутренняя огибающие замкнутых кривых 16

Внутренняя огибающая замкнутых кривых, описываемых различными точками орбиты астероида (показана синим цветом) 17 Самопересекающаяся кривая, показанная синим цветом, представляет собой проекцию на плоскость эклиптики геометрического места точек возможного положения астероида в геоцентрической эклиптической системе координат при гипотетических сближениях с Землей по долготе в разных точках орбиты (проекция на плоскость эклиптики)

К построению пространственной кривой, соответствующей геометрическому месту точек возможного положения астероида при гипотетических тесных сближениях с Землей по долготе в разных точках орбиты астероида в геоцентрической эклиптической системе координат 18 а) Диаметральная плоскость, содержащая линию апсид орбиты астероида в гелиоцентрической эклиптической системе координат Положение апоцентра и перицентра относительно точек пересечения орбиты Земли с этой плоскостью.*) б) Сечение цилиндрической поверхности диаметральной плоскостью, проходящей через ось Z геоцентрической системы координат и линию апсид астероида. Искомая пространственная кривая лежит на цилиндрической поверхности, направляющая которой параллельна оси Z, а образующая совпадает с упомянутой выше внутренней огибающей замкнутых кривых. а) б) *) Примечание. На всех рисунках значения Z показаны в масштабе 5:1

19 Начнем с точки, лежащей а начале координат и соответствующей восходящему узлу орбиты астероида на плоскости эклиптики, в которой расстояние Апофиса до центра Земли равно нулю. Эта точка соответствует точке самопересечения огибающей (см. рис. а). Переход от этой точки к перигелию (P) происходит по внешней поверхности цилиндра в направлении, указанном стрелкой на рис. б. Затем движение по внешней поверхности цилиндра продолжается от точки P до точки D 2, соответствующей самопересечению проекции огибающей (на рис. а). Дальнейший переход в точку афелия A происходит по поверхности внутреннего цилиндра, а после прохождения афелия (см. рис. б) происходит возврат в начало координат по стрелке вверх. Описание пространственного геометрического места точек, принадлежащего поверхности цилиндра, и соответствующего положению астероида при гипотетических тесных сближениях с Землей по долготе а) б) P A 0, D 2 D2D2

Положение дат трёх сближений (по долготе и по геоцентрическому расстоянию) астероида Апофис с Землей в гелиоцентрической инерциальной системе координат 20 n A- n E – разность средних движений астероида и Земли. ). Синодический период Напомним значения средних движений Земли и Апофиса n E ~ /d, n A = /d Штрихпунктирная линия показывает даты сближения Апофиса с Землей по долготе, а штриховая линия – даты их сближения по геоцентрическому расстоянию.

Заключение В этой работе ставилась задача качественного исследования кинематики астероида Апофис в его движении относительно Земли на основе упрощенной модели и представления общей картины относительного движения астероида при слабых возмущениях его орбиты. Предложенный способ визуализации относительного движения может быть использован и для представления результатов прецизионных расчетов. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить благодарность Равилю Равильевичу Назирову, который привлек внимание автора к этой работе. 21

Литература 1. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: «Наука» Ивашкин В.В., Стихно К.А. О проблеме коррекции орбиты сближающегося с Землей астероида (99942) APOPHIS // ДАН, Т с Viacheslav V. Ivashkin, Cyril A. Stikhno. An Analysis of the Correction Problem for Near-Earth Asteroid (99942) Apophis=2004 MN4 // Proceedings. Planetary Defense Conference. G. Washington University March p Клавдий Птолемей. Альмагест или математическое сочинение в тринадцати книгах. Перевод с древнегреческого И.Н. Веселовского. М.: Наука-Физматлит, Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. М.: Наука, Бакулин П.И., Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. М.: Наука