1 ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ

2 Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление – Автоматизация и управление специальность – Управление и информатика в технических системах МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Лекция 6. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы). Основные соотношения Возможные приложения F-схемы Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.

3 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) Цель изучения материала: изучить особенности дискретно-детерминированного подхода при построении математических моделей на основе теории автоматов; научиться строить формальную модель объекта, используя типовую математическую F -схему. Компетенций, формирующиеся в процессе знакомства с материалом: приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии; разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления; использовать современные технологии моделирования систем.

4 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) Содержание лекции 6 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения F-схемы.

5 Основные соотношения В качестве математического аппарата дискретно- детерминированного подхода применяется теория автоматов. Система представляется в виде автомата – устройства с входными и выходными сигналами, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Конечный автомат – автомат, у которого множества внутренних состояний, входных и выходных сигналов являются конечными множествами. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

6 Основные соотношения Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами: - конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); - конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); - конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); - начальным состоянием z 0, z 0 Z; - функцией переходов (z, x); - функцией выходов (z, x). Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

7 Основные соотношения Конечный автомат задается F-схемой: F = Z, X, Y,,, z 0. Конечный автомат функционирует в дискретном времени, моментами которого являются такты. Каждому t-му такту t = 0, 1, 2, …, соответствуют постоянные значения входного x(t) X сигнала, выходного y(t) Y сигнала и внутренние состояния z(t) Z. Начальное состояние z(0) = z0. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

8 Основные соотношения Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, … дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0) = z 0. В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x(t) X и выдать на выходном канале сигнал y(t) = [z(t), x(t)], переходя в состояние z(t+1) = [z(t), x(t)], z(t) Z, y(t) Y. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

9 Основные соотношения Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного алфавита Y. Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z 0, подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита x(0), x(1), x(2), …, т.е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y(0), y(1), y(2), …, образуя выходное слово. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

10 Основные соотношения Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом (t+1)-го такта в новое состояние z(t+1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

11 Основные соотношения Опишем это следующими уравнениями: для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили, z(t+1) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (2.15) y(t) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (2.16) для F-автомата второго рода z(t+1) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (2.17) y(t) = [z(t), x(t – 1)], t = 1, 2, 3,….(2.18) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

12 Основные соотношения Опишем это следующими уравнениями: для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили, z(t+1) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (2.15) y(t) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (2.16) для F-автомата второго рода z(t+1) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (2.17) y(t) = [z(t), x(t – 1)], t = 1, 2, 3,….(2.18) Автомат второго рода, для которого функция выхода не зависит от входной переменной x(t), т.е. y(t) = [z(t)], t = 0, 1, 2, …,(2.19) называется автоматом Мура. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

13 Основные соотношения При этом, согласно (2.16), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида y(t) = [ x(t)], t = 0, 1, 2, …. Эта функция называется булевой, если алфавит X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y, состоят из двух букв. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

14 Основные соотношения Уравнения (2.15)-(2.19), полностью задающие F-автомат, являются частным случаем уравнений (2.3) и (2.4), когда система S – детерминированная и на её единственный вход поступает дискретный сигнал X. По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

15 Основные соотношения В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат считывает входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом считанного и в соответствии с уравнениями (2.15)-(2.19) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт. Длительность такта определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

16 Основные соотношения Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно. F-автомат реагирует на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x, поэтому, как следует из (2.15)-(2.19), он может несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое состояние, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

17 Возможные приложения F-схемы Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества F =, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние z 0, в котором автомат находится в состоянии t = 0. Существуют несколько способов задания работы F-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

18 Возможные приложения F-схемы В табличном способе задаются таблицы переходов и выходов. Строки таблицы соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. Первый слева столбец соответствует начальному состоянию z 0. На пересечении i-й строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение функции переходов (z k, x i ), а в таблице выходов – соответствующее значение функции выходов (z k, x i ). Для F-автомата Мура обе таблицы можно совместить. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

19 Возможные приложения F-схемы Описание работы F-автомата Мили таблицами переходов и выходов иллюстрируется в таблице 2.1 X i z 0 z 1 …z k Переходы x 1 (z 0, x 1 ) (z 1, x 1 )… (z k, x 1 ) x 2 (z 0, x 2 ) (z 1, x 2 )… (z k, x 2 ) x i (z 0, x i ) (z 1, x i )… (z k, x i ) Выходы x 1 (z 0, x 1 ) (z 1, x 1 )… (z k, x 1 ) x 2 (z 0, x 2 ) (z 1, x 2 )… (z k, x 2 ) x i (z 0, x i ) (z 1, x i )… (z k, x i ) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

20 Возможные приложения F-схемы Описание работы F-автомата Мура таблицей переходов иллюстрируется в табл x i (z k ) (z 0 ) (z 1 )… (z k ) z 0 z 1 …z k x 1 (z 0, x 1 ) (z 1, x 1 )… (z k, x 1 ) x 2 (z 0, x 2 ) (z 1, x 2 )… (z k, x 2 ) …………… x i (z 0, x i ) (z 1, x i )… (z k, x i ) Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

21 Возможные приложения F-схемы Пример 1 табличного способа задания F-автомата Мили F1 приведены в табл. 2.3, x i z k z 0 z 1 z 2 Переходы x 1 z 2 z 0 z 0 x 2 z 0 z 2 z 1 Выходы x 1 y 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 y 1 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

22 Возможные приложения F-схемы Пример 2 табличного способа задания F-автомата Мура F2 представлен в табл ХY x i y 1 y 1 y 3 y 2 y 3 z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 x 1 z 1 z 4 z 4 z 2 z 2 x 2 z 3 z 1 z 1 z 0 z 0 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

23 Возможные приложения F-схемы При графическом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x k вызывает переход из состояния z i в состояние z j, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z i c вершиной z j, обозначается x k. Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

24 Возможные приложения F-схемы Для автоматов Мили эта разметка производится так: если входной сигнал x k действует на состояние z i, то получается дуга, исходящая из z i и помеченная x k ; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y = (z i, x k ). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x k, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z j, то дугу, направленную в z i и помеченную x k, дополнительно отмечают выходным сигналом y = (z j, x k ). Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

25 Возможные приложения F-схемы Пример 1. На рис а приведен F-автомат Мили F1 заданный ранее таблицей Рис. 2.4, а Граф автомата Мили х 2 у 1 у 1 x 1 у 2 x 1 x 1 у 1 x 2 y 2 y 1 x 2 z0z0 z1z1 z2z2 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

26 Возможные приложения F-схемы Пример 2. На рис б приведен F-автомат Мура F2, заданный ранее таблицей. Рис б Граф автомата Мура у 1 х 1 у 3 у 1 х 2 х 2 х 1 х 2 х 2 х 1 х 1 х 1 х 2 у 2 у 3 z0z0 z3z3 z2z2 z4z4 z1z1 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

27 Возможные приложения F-схемы При матричном задании конечного автомата матрица соединений автомата квадратная С= с ij. Строки матрицы соответствуют исходным состояниям, а столбцы матрицы соответствуют состояниям перехода. Элемент с ij = x k /y s, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, для автомата Мили соответствует входному сигналу x k, вызывающему переход из состояния z i в состояние z j, и выходному сигналу y s, выдаваемому при этом переходе. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

28 Возможные приложения F-схемы Пример 1. Для автомата Мили F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид: x 2 / y 1 – x 1 / y 1 C 1 = x 1 / y 1 –x 2 / y 2. x 1 / y 2 x 2 /y 1 – Если переход из состояния z i в состояние z j происходит под действием нескольких сигналов, то элемент матрицы c ij представляет собой множество пар вход-выход для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

29 Возможные приложения F-схемы Для F-автомата Мура элемент с ij равен множеству входных сигналов на переходе (z i,z j ), а выход описывается вектором выходов (z 0 ) (z 1 ) …… y= (z k ), …… (z K ) i-я компонента вектора – выходной сигнал, отмечающий состояние z i. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

30 Возможные приложения F-схемы Пример 2. Для F-автомата Мура F2, рассмотренного выше, матрицы соединений и вектор выходов имеют вид: –x 1 – x 2 – –x 2 ––x 1 C 2 =–x 2 –– x 1 x 2 –x 1 –– у 1 y=у 3 у 2 у 3 Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

31 Возможные приложения F-схемы Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания F-автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. А в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

32 Возможные приложения F-схемы Для F-автомата состояние z k называется устойчивым, если для любого входа x i X, для которого (z k, x i ) = z k, имеет место (z k,x i ) = у k. F-автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z k Z устойчиво. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

33 Возможные приложения F-схемы С помощью F-автомата можно описать объекты, для которых характерно наличие дискретных состояний, и дискретный характер работы во времени: - элементы и узлы ЭВМ, - устройства контроля, регулирования и управления, - системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т.д. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

34 Выводы и заключение по лекции: изучили особенности дискретно-детерминированного подхода при построении математических моделей на основе теории автоматов; научились строить формальную модель объекта, используя типовую математическую F-схему Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

35 Перечень источников: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с.: ил. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, с. 3. Список дополнительной литературы по теме: Дружинина О.Г. Преподавание дисциплины «Моделирование систем»: методическая разработка по дисциплине «Моделирование систем»/ О.Г. Дружинина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, с. Раздел 2. Математические схемы моделирования систем. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)