«

Тема проекта: Решение уравнений 3 степени.

Творческое название « Заглянем в мир формул…»

Дидактические цели проекта 1. Развитие познавательной активности учащихся. 2. Формирование компетенций в сфере само- стоятельной познавательной деятельности. 3. Формирование навыков работы в группах. 4. Создать условия для осмысления учеб- ной информации. 5. Приобретать умения видеть проблему и на- метить пути ее решения. 6. Включить в учебный процесс активность, интерес и сознательную самореализацию обучаемого.

Расширить знания в области умений решать уравнения 3 степени. Вывод свойств корней кубического уравнения. Показать практическую значимость связей корней кубического уравнения с его коэффициентами.

Установить, существует ли формула, выражающая корни кубического уравнения через конечное число алгебраических действий над его коэффициентами. Свойство корней кубических урав- нений.

1. Какова связь корней кубического уравнения с его коэффициентами? 2. Имеют ли практическое приме- нение наши результаты исследова- ния? 3. Что общего и какое различие в системе «Квадратные уравнения кубические уравнения»?

1. Формирование инициативной группы для проведения исследования по проблеме « Поиск формулы существования общей формулы решения кубических уравнений » ( ). 2. Самостоятельная работа группы, подготовка творческого отчета в виде презентации ( ). 3. Обсуждение полученных результатов исследований с учителем ( – 2 часа ). 4. Демонстрация результатов исследования на уроке ( ).

инициативной группы

Необходимые дидактические и организационные материалы 1. Тесты для самостоятельного выпол- нения. 2. Тесты для выполнения дома. 3. План – конспект урока – презентации. 4. Анкета – рефлексия.

Информационные ресурсы Список литературы: 1)ЕГЭ по математике – Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков и др. Чебоксары, )Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, В.В.Сильвестров. Чебоксары, )Задачи по математике. Алгебра. Вавилов В.В., Олехник С.Н. - М.: Наука, )Конкурсные задачи по математике под редакцией М.И.Сканави, )За страницами учебника алгебры, Л.Ф.Пичурин. -М.: «Просвещение», )Справочник по математике. И.Н.Бронштейн. -М.:ГИТЛ, 1953.

Краткая аннотация проекта Данный проект направлен на закрепление и углубление знаний по алгебре. Рассчитан для учащихся 10 класса профиль- ной школы и предполагает изучение темы «Корни многочлена» и «Решение задач с па- раметрами». Практические занятия, работа со справочной литературой и самостоятельные исследо- вания помогут учащимся ответить на проб- лемные вопросы и вопросы учебной темы.

Посредством уравнений, теорем Посредством уравнений, теорем Уйму всяких разрешается проблем! Уйму всяких разрешается проблем! И засуху предсказывают, и ливни. И засуху предсказывают, и ливни. Поистине его познанья дивны. Поистине его познанья дивны.

Установить, существует ли формула, выражающая корни кубического уравнения через конечное число алгебраических действий над его коэффициентами. Свойство корней кубических урав- нений.

Методы решения уравнений 1. Метод понижения степени уравнения, основанный на теореме Безу и деле- нии многочлена на одночлен х-а, где а – корень уравнения. 2. Разложением многочлена на мно- жители. 3. Использование теоремы Безу и метода неопределенных коэффи- циентов.

х 3 + 2х 2 - 5х - 6=0 Выделим полный куб в уравнении: (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+3ха 2 +а 3 2х 2 = 3х 2 а а=

( х х 2 а+ 3 х + ) - 3 х х - 6 = =(х+ ) Подстановка у= х +, т.е. х=у- у ( у - )- 6 =0 Исходное уравнение приняло вид: у у – 2 =0

х 3 +2х 2 -5х – 6 = 0 Выделим полный куб так, чтобы исчез член -5х. (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 +3а 2 +а 3 Отыскали такое а, чтобы 3а 2 х = - 5х, т.е. чтобы а 2 = -

Даль Ферро (1465 – 1526) x 3 + px =q

Х=

Квадратный корень из отрицательного числа?

Х = 1 х 3 +3х -4=0

х 3 + 6х +2 =0 Решив данное уравнение, получили: х = - -

В чем причина? Уравнение х 3 -7х +6 = 0 имеет 3 корня. р=-7; q =6 D = = 9 - D

Как уравнение вида ах 3 +вх 2 +сх+d=0 привести к виду х 3 + рх + q =0 ?

Обозначим r=±. Знак r совпадает со знаком q. сos = у 1 = -2 сos у 2 = r cos(60º - у 3 =r cos(60º + ) )

ах 3 +вх 2 +сх +d=0 Пришли к уравнению у 3 +ру+q=0. q= - + ; р=

х 3 +2х 2 -5х -6 =0 а=1; в=2; с=-5; d=-6 р= = q= = -

ЕГЭ – 2004 Упр. 273 При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х 3 -3х+4 = а имеет 1 решение?

Тесты

ЕГЭ – 2004 Упр. 274 При каком наибольшем натуральном значении параметра уравнение х 3 +3х х +6-3а=0 имеет 3 корня?

ЕГЭ В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х 3 - 3х –а = 0

1 решение а= -2;2 2 решения а (-2;2) 3 решения D = + = + (-1) 3 = а (-;-2) (2;) _+. __-__. _+ -2 2

Тестирование. 1. Сколько корней имеет уравнение: а)х 3 -12х +8 = 0; б)х 3 - 9х + 14 = 0. Ответы: а) 1; б) 2; в) нет корней; г) 3 2.При каких значениях р уравнение х 3 + рх + 2 = 0 имеет 2 корня? а) 2; б) -3; в) 1; г) -2

х 3 -12х+8=0 D=16 +(-64)=-48. Ответ: в) 3

х 3 – 9х +14 = 0 D = 22 Ответ: а) 1.

х 3 +рх +2= 0 D= = D = 0; р = 0; р = - 2. Ответ: г) – 2.

Задание на дом: * При каком наибольшем целом отри- цательном значении параметра в уравнение 2х 3 +3х 2 -12х = 3в имеет 3 корня? * При каких значениях параметра уравнение 2х 3 +3х 2 +1 –а =0 имеет 3 различных корня?

Франсуа Виет

х 3 + 2х 2 – 5х -6 =0 ±1;±2; ±3; ±6 -3; -1; 2

х 3 +2х 2 – 5х – 6=0 х 3 +2х 2 – 5х – 6= х 3 +3х 2 –х х – 2х –6=(х 3 +3х 2 )-(х 2 +3х)- -(2х+6) = х 2 (х+3) - х(х+3)- -2(х+3)=(х+3)(х 2 –х-2)= =(х+3)(х+1)(х-2) Корни: -1; 2; -3

х 3 -12х +16 = х 3 -4х-8х+16 = =(х 3 -4х)-(8х-16)=х(х 2 -4) – 8(х-2) = =х(х–2)(х+2) – 8(х-2)= =(х-2)(х 2 +2х -8) Х-2=0 или х 2 +2х -8=0 Х=2 х 1 =-4; х 2 =2.

х 3 +рх 2 +qх + r=0 х 1, х 2, х 3 (х - х 1 ) (х-х 2 ) (х - х 3 )=0, х 3 – (х 1 +х 2 + х 3 ) х 2 +(х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 )х – - х 1 х 2 х 3 =0 х 1 +х 2 + х 3 = -р; х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 = q; х 1 х 2 х 3 = - r.

Тесты 1.х 3 +рх 2 +19х -12 =0 имеет корни 1,3,4. Найти коэффициент р. 2.Уравнение х 3 -10х 2 +41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r. Ответы: а) -30; б) 12; в) -8; г) - 41.

1.х 3 +рх 2 +19х -12 =0 имеет корни 1,3,4. Найти коэффициент р. Ответы: а) -30; б) 12; в) -8; -41. Решение. х 1 +х 2 +х 3 = -р; -р =1+3+4= 8; р = -8. Ответ: в.

2.Уравнение х 3 -10х 2 +41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r. Ответы: а) -30; б) 12; в) -8; -41. Решение. х 1 х 2 х 3 = -r х 1 х 2 х 3 = = 30; r = -30. Ответ: а) -30.

Сборник конкурсных задач по математике. М.И.Сканави. Решить уравнение 3х 3 +2 х -21х +6 =0, если известно, что произведение его корней равно 1.

Выводы: 1.Существует формула, выражающая корни алгебраического урав- нения третьей степени.

С учетом дополни- тельных условий можно применить формулу Кардано для уравнений вида х 3 + рх + q =0

Формула КарданоФормула Кардано Формула Кардано

Корни уравнения х 3 +рх 2 +рх+r=0 связаны следующим образом: х 1 +х 2 +х 3 = - р; х 1 х 2 +х 1 х 3 +х 2 х 3 = q х 1 х 2 х 3 = - r;

Итак, ребята, подведем итог нашей работы: 1. Всякое разумное рассуждение развивает и обогащает, а наши рассуждения были именно такими. 2. В ходе работы над решением проблемы мы учи- лись обобщать и рассматривать частные случаи. 3. Приобретенный опыт может оказаться полезным при решении других проблем.

Комфортно ли вы себя чувство- вали в группе? Интересна ли для тебя эта тема? Легко ли вы находили нужную для себя информацию? Что понравилось вам в ходе проекта? Что не понравилось вам в хо- де проекта?