Рассмотрим замкнутую систему из N взаимодействующих друг с другом частиц, на которые не действуют внешние силы. Состояние такой системы определяется заданием векторов и скоростей всех частиц (i = 1,…,N), которые находятся из решения системы уравнений Ньютона где - сила, действующая на i - ую частицу со стороны других частиц системы. Расписывая уравнения Ньютона для проекций ускорений и сил, получим систему из 3N дифференциальных уравнений 2-го порядка. Их общее решение для радиус-векторов содержит 2 3N = 6N произвольных постоянных Дифференцируя эти решения по времени, получим скорости Рассмотрим замкнутую систему из N взаимодействующих друг с другом частиц, на которые не действуют внешние силы. Состояние такой системы определяется заданием векторов и скоростей всех частиц (i = 1,…,N), которые находятся из решения системы уравнений Ньютона где - сила, действующая на i - ую частицу со стороны других частиц системы. Расписывая уравнения Ньютона для проекций ускорений и сил, получим систему из 3N дифференциальных уравнений 2-го порядка. Их общее решение для радиус-векторов содержит 2 3N = 6N произвольных постоянных Дифференцируя эти решения по времени, получим скорости 6. Законы сохранения

Последние два выражения образуют систему из 6N уравнений. Исключая из них время, получим (6N-1) функций С 1, С 2, С 3, …, С 6N-1, каждая из которых зависит от 3N координат и 3N проекций скоростей. Однако, эти функции С i (,,…,,,,…, ) являются константами, которые не зависят от времени и сохраняют свои значения при движении системы. Их называют интегралами движения. Они выражают собой законы сохранения механической системы. Последние два выражения образуют систему из 6N уравнений. Исключая из них время, получим (6N-1) функций С 1, С 2, С 3, …, С 6N-1, каждая из которых зависит от 3N координат и 3N проекций скоростей. Однако, эти функции С i (,,…,,,,…, ) являются константами, которые не зависят от времени и сохраняют свои значения при движении системы. Их называют интегралами движения. Они выражают собой законы сохранения механической системы.

Из всех 6N-1 интегралов движения наибольший интерес представляют аддитивные интегралы движения. Свойство аддитивности выражается в том, что для системы, состоящей из невзаимодействующих друг с другом частей, значение аддитивного интеграла системы равно сумме значений таких интегралов ее частей. Аддитивных интегралов только три – полная энергия, импульс и момент импульса. Их сохранение является следствием свойств симметрии пространства и времени, которые не зависят от характера действующих сил. Поэтому законы сохранения обладают большей общностью, чем законы Ньютона. Они выполняются даже в тех случаях, когда законы Ньютона нарушаются. Из всех 6N-1 интегралов движения наибольший интерес представляют аддитивные интегралы движения. Свойство аддитивности выражается в том, что для системы, состоящей из невзаимодействующих друг с другом частей, значение аддитивного интеграла системы равно сумме значений таких интегралов ее частей. Аддитивных интегралов только три – полная энергия, импульс и момент импульса. Их сохранение является следствием свойств симметрии пространства и времени, которые не зависят от характера действующих сил. Поэтому законы сохранения обладают большей общностью, чем законы Ньютона. Они выполняются даже в тех случаях, когда законы Ньютона нарушаются.

Полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов, составляющих ее частиц ( i = 1,…,N) Полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов, составляющих ее частиц ( i = 1,…,N) 6.1 Закон сохранения импульса На каждую частицу действуют внутренние силы со стороны других частиц

Сложим эти уравнения и объединим силы от пар частиц Но по третьему закону Ньютона, поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю и получаем (6.1.1) Следовательно, полный импульс замкнутой системы от времени не зависит, он сохраняет свое значение и направление. Этот закон связан с однородностью пространства – параллельный перенос замкнутой системы как целого из одной части пространства в другую не меняет ее механических свойств. Импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если внешние силы компенсируют друг друга. Сложим эти уравнения и объединим силы от пар частиц Но по третьему закону Ньютона, поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю и получаем (6.1.1) Следовательно, полный импульс замкнутой системы от времени не зависит, он сохраняет свое значение и направление. Этот закон связан с однородностью пространства – параллельный перенос замкнутой системы как целого из одной части пространства в другую не меняет ее механических свойств. Импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если внешние силы компенсируют друг друга.

Выразим импульс системы через скорость движения ее центра масс. Центром масс (центром инерции) системы тел называется точка С, положение которой в пространстве определяется радиус-вектором где - масса системы. Отсюда находим Возьмем первую производную по времени от последнего равенства получим (6.1.2)

Здесь - скорость движения центра масс, она характеризует скорость перемещения системы как целого. Поскольку для замкнутой системы, то и. Следовательно, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно или остается неподвижным. Поэтому система координат, связанная с центром масс является инерциальной, ее называют ц-системой. Здесь - скорость движения центра масс, она характеризует скорость перемещения системы как целого. Поскольку для замкнутой системы, то и. Следовательно, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно или остается неподвижным. Поэтому система координат, связанная с центром масс является инерциальной, ее называют ц-системой.

Ранее был установлен закон сохранения полной механической энергии для одного тела - формула (4.3.1). Обобщим этот результат на случай системы из N частиц, находящихся во внешнем поле консервативных сил, не зависящих от времени. Пусть на каждую частицу действует внешняя консервативная сила. Будем считать, что частицы взаимодействуют между собой посредством парных, центральных сил, которые зависят только от расстояний между частицами. Такие силы тоже консервативные. Ранее был установлен закон сохранения полной механической энергии для одного тела - формула (4.3.1). Обобщим этот результат на случай системы из N частиц, находящихся во внешнем поле консервативных сил, не зависящих от времени. Пусть на каждую частицу действует внешняя консервативная сила. Будем считать, что частицы взаимодействуют между собой посредством парных, центральных сил, которые зависят только от расстояний между частицами. Такие силы тоже консервативные. 6.2 Закон сохранения энергии

Запишем уравнение Ньютона для i – ой частицы Умножим каждое из этих уравнений на элементарные перемещения частиц и сложим (6.2.1) где учтено, что Запишем уравнение Ньютона для i – ой частицы Умножим каждое из этих уравнений на элементарные перемещения частиц и сложим (6.2.1) где учтено, что

Левая часть уравнения (6.2.1) равна приращению кинетической энергии В правой части (6.2.1) первое слагаемое равно элементарной работе внутренних консервативных сил по перемещению всех частиц системы Второе слагаемое в правой части (6.2.1) равно элементарной работе внешних консервативных сил по перемещению всех частиц системы Рассмотрим детальнее работу внутренних сил dA внутр на примере системы из трех частиц. Левая часть уравнения (6.2.1) равна приращению кинетической энергии В правой части (6.2.1) первое слагаемое равно элементарной работе внутренних консервативных сил по перемещению всех частиц системы Второе слагаемое в правой части (6.2.1) равно элементарной работе внешних консервативных сил по перемещению всех частиц системы Рассмотрим детальнее работу внутренних сил dA внутр на примере системы из трех частиц.

- изменение расстояния между двумя частицами

Обобщим полученную формулу на случай N частиц Учтем, что внутренние силы центральные, направлены вдоль радиус-векторов, соединяющих частицы, и поэтому могут быть записаны в виде где f ik ( R ik ) – функции, зависящие только от модуля расстояния между частицами R ik, поэтому где dU ik – изменение потенциальной энергии парного взаимодействия i –ой и k - ой частиц. Обобщим полученную формулу на случай N частиц Учтем, что внутренние силы центральные, направлены вдоль радиус-векторов, соединяющих частицы, и поэтому могут быть записаны в виде где f ik ( R ik ) – функции, зависящие только от модуля расстояния между частицами R ik, поэтому где dU ik – изменение потенциальной энергии парного взаимодействия i –ой и k - ой частиц.

В результате получаем Объединяя слагаемые, формулу (6.2.1) перепишем в виде или Значит полная механическая энергия системы (6.2.2) сохраняется, когда система находится в поле внешних консервативных сил. Если же внешние силы не консервативны, то полная энергия системы с течением времени меняется. В результате получаем Объединяя слагаемые, формулу (6.2.1) перепишем в виде или Значит полная механическая энергия системы (6.2.2) сохраняется, когда система находится в поле внешних консервативных сил. Если же внешние силы не консервативны, то полная энергия системы с течением времени меняется.

6.3 Закон сохранения момента импульса Ранее было получено выражение (5.5.5), связывающее момент импульса с моментом внешних сил : Распишем оба момента в виде суммы вкладов от частей системы ; Подставляем в уравнение (5.5.5) Ранее было получено выражение (5.5.5), связывающее момент импульса с моментом внешних сил : Распишем оба момента в виде суммы вкладов от частей системы ; Подставляем в уравнение (5.5.5)

Если система замкнутая, то на каждую из ее частей внешние силы не действуют, тогда поэтому (6.3.1) Следовательно, момент импульса замкнутой системы сохраняется, с течением времени остаются неизменными как его величина, так и направление. Этот результат справедлив и для не замкнутой системы, если суммарный момент внешних сил равен нулю, то есть когда, хотя может. Если система замкнутая, то на каждую из ее частей внешние силы не действуют, тогда поэтому (6.3.1) Следовательно, момент импульса замкнутой системы сохраняется, с течением времени остаются неизменными как его величина, так и направление. Этот результат справедлив и для не замкнутой системы, если суммарный момент внешних сил равен нулю, то есть когда, хотя может.

Также всегда сохраняется проекция момента импульса на ту ось, относительно которой силовое поле симметрично. Частным случаем является центрально- симметричное поле. При движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через силовой центр. Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства, которая проявляется в независимости физических законов относительно поворотов замкнутой системы в пространстве на произвольный угол. Также всегда сохраняется проекция момента импульса на ту ось, относительно которой силовое поле симметрично. Частным случаем является центрально- симметричное поле. При движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через силовой центр. Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства, которая проявляется в независимости физических законов относительно поворотов замкнутой системы в пространстве на произвольный угол.

6.4 Упругий и неупругий удар шаров Анализ законов сохранения позволяет, не решая уравнений Ньютона, получить важные выводы о свойствах механической системы. Рассмотрим в качестве примера центральный удар двух шаров, которые до удара двигались вдоль прямой, проходящей через их центры. При соударении тела претерпевают деформации. При этом их кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел, сопровождающуюся повышением их температуры. 6.4 Упругий и неупругий удар шаров Анализ законов сохранения позволяет, не решая уравнений Ньютона, получить важные выводы о свойствах механической системы. Рассмотрим в качестве примера центральный удар двух шаров, которые до удара двигались вдоль прямой, проходящей через их центры. При соударении тела претерпевают деформации. При этом их кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел, сопровождающуюся повышением их температуры.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. После удара тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В результате потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, которые определяются из законов сохранения полной механической энергии и полного импульса системы двух тел. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. После удара тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В результате потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, которые определяются из законов сохранения полной механической энергии и полного импульса системы двух тел.

При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия деформации не возникает, а кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После абсолютно неупругого удара тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При этом выполняется лишь закон сохранения импульса, а закон сохранения механической энергии не соблюдается. Но при абсолютно неупругом ударе сохраняется полная энергия – механическая плюс внутренняя. При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия деформации не возникает, а кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После абсолютно неупругого удара тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При этом выполняется лишь закон сохранения импульса, а закон сохранения механической энергии не соблюдается. Но при абсолютно неупругом ударе сохраняется полная энергия – механическая плюс внутренняя.

1)Абсолютно неупругий удар Пусть массы шаров равны т 1 и т 2, а скорости до удара и. После удара шары движутся как одно целое с одной и той же скоростью, равной скорости движения центра масс двух шаров. Оба шара вместе образуют замкнутую систему, поэтому должен выполняться закон сохранения полного импульса системы откуда (6.4.1) 1)Абсолютно неупругий удар Пусть массы шаров равны т 1 и т 2, а скорости до удара и. После удара шары движутся как одно целое с одной и той же скоростью, равной скорости движения центра масс двух шаров. Оба шара вместе образуют замкнутую систему, поэтому должен выполняться закон сохранения полного импульса системы откуда (6.4.1)

Найдем, какая часть кинетической энергии перешла в немеханическую форму энергии (тепловую или другую) (6.4.2) Рассмотрим частный случай, когда одно из тел до удара было неподвижным, например, тогда Найдем, какая часть кинетической энергии перешла в немеханическую форму энергии (тепловую или другую) (6.4.2) Рассмотрим частный случай, когда одно из тел до удара было неподвижным, например, тогда

Если, кроме того, масса неподвижного тела много больше массы движущегося тела, то Следовательно, в этом случае почти вся кинетическая энергия подвижного тела при ударе переходит в тепло или другие формы немеханической энергии. Если, кроме того, масса неподвижного тела много больше массы движущегося тела, то Следовательно, в этом случае почти вся кинетическая энергия подвижного тела при ударе переходит в тепло или другие формы немеханической энергии.

Если, наоборот, неподвижное тело много легче подвижного, то Значит, в этом случае лишь небольшая доля кинетической энергии подвижного тела переходит в тепло, а легкое неподвижное тело приобретает скорость, почти равную скорости подвижного тела. Если, наоборот, неподвижное тело много легче подвижного, то Значит, в этом случае лишь небольшая доля кинетической энергии подвижного тела переходит в тепло, а легкое неподвижное тело приобретает скорость, почти равную скорости подвижного тела.

2) Абсолютно упругий удар При абсолютно упругом ударе выполняются два закона сохранения - закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. На рисунке скорости тел после удара помечены штрихом. 2) Абсолютно упругий удар При абсолютно упругом ударе выполняются два закона сохранения - закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. На рисунке скорости тел после удара помечены штрихом.

Запишем законы сохранения (6.4.3) Из них после преобразований получаем (6.4.4) Равенство (6.4.4) означает, что при абсолютно упругом ударе относительная скорость двух шаров сохраняет свой модуль, но меняет свое направление. Запишем законы сохранения (6.4.3) Из них после преобразований получаем (6.4.4) Равенство (6.4.4) означает, что при абсолютно упругом ударе относительная скорость двух шаров сохраняет свой модуль, но меняет свое направление.

Подставляя (6.4.4) в (6.4.3), получаем (6.4.5) Подставляя (6.4.4) в (6.4.3), получаем (6.4.5)

Рассмотрим частные случаи. 1) Пусть шары одинаковые, и один из шаров до удара был неподвижным, например,. Тогда Значит, после удара первый шар остановился, а второй шар движется со скоростью первого шара, которую тот имел до удара. Шары как бы обменялись скоростями. Рассмотрим частные случаи. 1) Пусть шары одинаковые, и один из шаров до удара был неподвижным, например,. Тогда Значит, после удара первый шар остановился, а второй шар движется со скоростью первого шара, которую тот имел до удара. Шары как бы обменялись скоростями.

2) Пусть теперь массы шаров сильно отличаются, например Следовательно: а) 2-ой большой шар почти не меняет своего движения, б ) если до удара 2-ой большой шар был неподвижным, то 1-ый малый шар после удара меняет направление своего движения на противоположное, с) скорость малого шара увеличивается, если большой шар двигался ему навстречу и уменьшается, если большой шар двигался в ту же сторону. 2) Пусть теперь массы шаров сильно отличаются, например Следовательно: а) 2-ой большой шар почти не меняет своего движения, б ) если до удара 2-ой большой шар был неподвижным, то 1-ый малый шар после удара меняет направление своего движения на противоположное, с) скорость малого шара увеличивается, если большой шар двигался ему навстречу и уменьшается, если большой шар двигался в ту же сторону.