Твердое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Рассмотрим основные законы вращательного движения твердого тела. 5.1 Момент инерции Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению массы точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения (5.1.1) Момент инерции точки зависит только от ее кратчайшего расстояния до оси вращения. Твердое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Рассмотрим основные законы вращательного движения твердого тела. 5.1 Момент инерции Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению массы точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения (5.1.1) Момент инерции точки зависит только от ее кратчайшего расстояния до оси вращения. 5. Динамика вращательного движения твердого тела

Для системы материальных точек момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных точек Если масса распределена непрерывно с плотностью, то тело можно разбить на малые объемы с массами. Эти объемы можно рассматривать как материальные точки. Суммируя их моменты инерции, получим момент инерции всего тела В пределе сумма переходит в интеграл по объему тела (5.1.2) Момент инерции твердого тела зависит от распределения в нем массы, расстояния и ориентации оси относительно тела. Для системы материальных точек момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных точек Если масса распределена непрерывно с плотностью, то тело можно разбить на малые объемы с массами. Эти объемы можно рассматривать как материальные точки. Суммируя их моменты инерции, получим момент инерции всего тела В пределе сумма переходит в интеграл по объему тела (5.1.2) Момент инерции твердого тела зависит от распределения в нем массы, расстояния и ориентации оси относительно тела.

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр. Пусть D - толщина диска, R 0 – его радиус. Поскольку диск однородный ( ρ = const ), то Разобьем диск на тонкие кольцевые слои толщиной dR и радиусами R. Объем каждого слоя равен В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр. Пусть D - толщина диска, R 0 – его радиус. Поскольку диск однородный ( ρ = const ), то Разобьем диск на тонкие кольцевые слои толщиной dR и радиусами R. Объем каждого слоя равен

Момент инерции диска равен сумме моментов инерции всех кольцевых слоев, поэтому он равен интегралу Выражая массу диска через плотность получаем момент инерции однородного диска или цилиндра (5.1.3а) Момент инерции диска равен сумме моментов инерции всех кольцевых слоев, поэтому он равен интегралу Выражая массу диска через плотность получаем момент инерции однородного диска или цилиндра (5.1.3а)

Аналогичные расчеты дают моменты инерции : 1) стержня длиной l (вокруг оси, проходящей через середину стержня) (5.1.3b) 2) шара с радиусом R 0 (вокруг оси, проходящей через центр ша ра) (5.1.3c) 3) полого тонкостенного цилиндра с радиусом R 0 (вокруг оси симметрии цилиндра ) (5.1.3d) Аналогичные расчеты дают моменты инерции : 1) стержня длиной l (вокруг оси, проходящей через середину стержня) (5.1.3b) 2) шара с радиусом R 0 (вокруг оси, проходящей через центр ша ра) (5.1.3c) 3) полого тонкостенного цилиндра с радиусом R 0 (вокруг оси симметрии цилиндра ) (5.1.3d)

5.2 Теорема Штейнера До сих пор момент инерции определялся относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Теперь найдем момент инерции тела относительно произвольной оси. Пусть ось С проходит через центр масс тела О. Разобьем тело на м алые объемы с массами и радиус-векторами, перпендикулярными к оси С. М омент инерции относительно оси С равен Пусть некоторая другая ось С п араллельна оси С и о тстоит от нее на расстояние а. Введем векторы и, перпендикулярные двум осям Пусть ось С проходит через центр масс тела О. Разобьем тело на м алые объемы с массами и радиус-векторами, перпендикулярными к оси С. М омент инерции относительно оси С равен Пусть некоторая другая ось С п араллельна оси С и о тстоит от нее на расстояние а. Введем векторы и, перпендикулярные двум осям

Квадрат расстояния элементарной массы до оси С равен Поэтому момент инерции тела относительно оси С равен Здесь - масса тела. Последнее слагаемое есть момент инерции относительно оси С, т.е. J с. Сумма равна произведению массы тела на вектор, направленный от оси С к центру масс. Поскольку центр масс лежит на оси С, то, поэтому среднее слагаемое равно нулю, в результате получаем теорема Штейнера (5.2.1) Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Квадрат расстояния элементарной массы до оси С равен Поэтому момент инерции тела относительно оси С равен Здесь - масса тела. Последнее слагаемое есть момент инерции относительно оси С, т.е. J с. Сумма равна произведению массы тела на вектор, направленный от оси С к центру масс. Поскольку центр масс лежит на оси С, то, поэтому среднее слагаемое равно нулю, в результате получаем теорема Штейнера (5.2.1) Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

5.3 Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий его частей (5.3.1) где - угловая скорость вращения тела вокруг оси. Сравнивая формулу (5.3.1) с формулой для кинетической энергии поступательного движения mυ 2 /2 видим, что при вращательном движении мерой инерции тела выступает момент инерции. 5.3 Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий его частей (5.3.1) где - угловая скорость вращения тела вокруг оси. Сравнивая формулу (5.3.1) с формулой для кинетической энергии поступательного движения mυ 2 /2 видим, что при вращательном движении мерой инерции тела выступает момент инерции.

Если тело участвует в составном движении, то его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения. Например, у цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости, полная кинетическая энергия равна (5.3.2) где m – масса цилиндра, υ c – величина скорости его центра масс, J c – момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс. Если тело участвует в составном движении, то его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения. Например, у цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости, полная кинетическая энергия равна (5.3.2) где m – масса цилиндра, υ c – величина скорости его центра масс, J c – момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс.

5.4 Момент силы Пусть точка О – неподвижная точка в твердом теле, и к некоторой точке тела А с радиус-вектором, проведенным из О, приложена сила. Тогда векторное произведение (5.4.1) называется моментом силы относительно неподвижной точки О. Пусть точка О – неподвижная точка в твердом теле, и к некоторой точке тела А с радиус-вектором, проведенным из О, приложена сила. Тогда векторное произведение (5.4.1) называется моментом силы относительно неподвижной точки О. Момент силы является псевдовектором, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к. Модуль момента силы равен где - плечо силы. Момент силы является псевдовектором, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к. Модуль момента силы равен где - плечо силы.

Момент силы характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой она берется. Пусть через точку О проходит некоторая ось z. Тогда проекция вектора на эту ось называется моментом силы относительно оси (5.4.2) Момент силы характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой она берется. Пусть через точку О проходит некоторая ось z. Тогда проекция вектора на эту ось называется моментом силы относительно оси (5.4.2) M z – скаляр, он не зависит от положения точки О на оси z, его величина равна где - угол между вектором и осью z. M z – скаляр, он не зависит от положения точки О на оси z, его величина равна где - угол между вектором и осью z.

5.5 Работа силы при вращательном движении твердого тела. Основное уравнение динамики вращательного движения. 5.5 Работа силы при вращательном движении твердого тела. Основное уравнение динамики вращательного движения. Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z под действием силы, приложенной к точке тела А. Пусть эта сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, тогда угол и вектор момента силы совпадает с осью z. Найдем работу силы при повороте тела на малый угол d На рисунке ось z выходит из листа в точке О. Из-за малости угла d можно считать, что вектор перемещения точки А перпендикулярен исходному вектору Так как тело абсолютно твердое, то элементарная работа силы dA равна работе, затраченной на поворот всего тела, что эквивалентно работе по перемещению точки А на вектор. Из-за малости угла d можно считать, что вектор перемещения точки А перпендикулярен исходному вектору Так как тело абсолютно твердое, то элементарная работа силы dA равна работе, затраченной на поворот всего тела, что эквивалентно работе по перемещению точки А на вектор.

Вектор перемещения можно записать в виде - единичный вектор, направленный вдоль вектора перемещения. Подставляя в формулу для элементарной работы, получаем Угол между вектором силы и вектором равен ( 90°- поэтому При повороте на конечный угол работа силы равна интегралу (5.4.3) Вектор перемещения можно записать в виде - единичный вектор, направленный вдоль вектора перемещения. Подставляя в формулу для элементарной работы, получаем Угол между вектором силы и вектором равен ( 90°- поэтому При повороте на конечный угол работа силы равна интегралу (5.4.3)

С другой стороны, элементарная работа силы по вращению тела идет на увеличение его кинетической энергии Следовательно где – угловое ускорение. В результате получаем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (5.4.4) Это уравнение играет во вращательном движении тела такую же роль, какую 2 -й закон Ньютона играет в поступательном движении тела. С другой стороны, элементарная работа силы по вращению тела идет на увеличение его кинетической энергии Следовательно где – угловое ускорение. В результате получаем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (5.4.4) Это уравнение играет во вращательном движении тела такую же роль, какую 2 -й закон Ньютона играет в поступательном движении тела.

5.5 Момент импульса Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется псевдовектор, равный (5.5.1) Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется псевдовектор, равный (5.5.1) где - радиус-вектор точки А. Направление псевдовектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к. Модуль момента импульса равен где - плечо импульса где - радиус-вектор точки А. Направление псевдовектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к. Модуль момента импульса равен где - плечо импульса

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной оси z называется величина, равная проекции вектора момента импульса на эту ось (5.5.2) Для твердого тела момент импульса относительно неподвижной точки равен сумме моментов элементарных объемов, выступающих в роли материальных точек Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной оси z называется величина, равная проекции вектора момента импульса на эту ось (5.5.2) Для твердого тела момент импульса относительно неподвижной точки равен сумме моментов элементарных объемов, выступающих в роли материальных точек

Поэтому момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси z равен сумме моментов элементарных объемов тела Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью. Каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса со скоростью, перпендикулярной этому радиусу и радиус-вектору точки, поэтому угол между и прямой. Поэтому момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси z равен сумме моментов элементарных объемов тела Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью. Каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса со скоростью, перпендикулярной этому радиусу и радиус-вектору точки, поэтому угол между и прямой.

Поскольку плечо силы i - ой точки равно, то При вращательном движении все точки тела движутся с одной угловой скоростью, величина которой связана с линейной скоростью, поэтому (5.5.3) Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению моменту инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Поскольку плечо силы i - ой точки равно, то При вращательном движении все точки тела движутся с одной угловой скоростью, величина которой связана с линейной скоростью, поэтому (5.5.3) Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению моменту инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Возьмем производную по времени от последнего равенства Но согласно (5.4.4) - есть момент силы относительно оси z, поэтому (5.5.4) Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно некоторой оси равна моменту внешних сил относительно той же оси. Уравнение (5.5.4) есть другая форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Она устанавливает связь между проекциями векторов и на ось вращения. Возьмем производную по времени от последнего равенства Но согласно (5.4.4) - есть момент силы относительно оси z, поэтому (5.5.4) Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно некоторой оси равна моменту внешних сил относительно той же оси. Уравнение (5.5.4) есть другая форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Она устанавливает связь между проекциями векторов и на ось вращения.

Теперь найдем связь между векторами и. Для этого возьмем производную по времени от формулы (5.5.1) для вектора Но поэтому Уравнение динамики вращательного (5.5.5) движения твердого тела в векторном виде Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна моменту внешних сил относительно той же точки. Теперь найдем связь между векторами и. Для этого возьмем производную по времени от формулы (5.5.1) для вектора Но поэтому Уравнение динамики вращательного (5.5.5) движения твердого тела в векторном виде Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна моменту внешних сил относительно той же точки.