7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. Лекция 4. Проверка статистических гипотез 4-1. Гипотеза о доле признака 4-2. Гипотеза о дисперсии 4-3. Проверка гипотез в SPSS

2 Иванов О.В., 2005 Проблемная ситуация Эксперты утверждают, что 29% всех преступлений совершаются несовершеннолетними. Чтобы проверить это утверждение, взяли случайную выборку из преступлений, произошедших в прошлом месяце. Оказалось, что из 83 преступлений, попавших в выборку, 17 приходится на несовершеннолетних. Нет ли противоречия этих данных с мнением экспертов?

3 Иванов О.В., 2005 Еще одна проблемная ситуация В прошлом году компания АВС провела исследование и выяснила, что 5% покупателей заинтересованы в выпуске стирального порошка, который отстирывает чернильные пятна на белых рубашках. Компания начала выпуск этого порошка и спустя год провела новое исследование, в ходе которого из 6000 опрошенных 335 положительно отнеслись к выпуску нового продукта. Можно ли с высокой долей уверенности утверждать, что интерес покупателей к новому продукту возрос? Как это проверить?

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Гипотеза о доле признака ГипотезаАлгоритмПример

5 Иванов О.В., 2005 Постановка задачи Имеется генеральная совокупность, в которой исследуемый признак принимает определенное значение с неизвестной вероятностью p. Требуется на основе анализа простой случайной выборки проверить гипотезу о значении неизвестной вероятности (доли) признака p в генеральной совокупности.

6 Иванов О.В., 2005 Метод Используем общий принцип проверки статистических гипотез.

7 Иванов О.В., 2005 Гипотезы Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть трех разных видов: IIIIII Нулевая гипотеза: Альтернативная гипотеза: Альтернативная гипотеза: Альтернативная гипотеза:

8 Иванов О.В., 2005 Статистика В качестве статистики выбираем случайную функцию: где- выборочная доля - гипотетическая доля генеральной совокупности - размер выборки Эквивалентная формула

9 Иванов О.В., 2005 Распределение статистики Используемая статистика имеет нормальное распределение. При проверке гипотезы пользуемся известными нам свойствами нормального закона. Необходимые условия:

10 Иванов О.В., 2005 Построение критической области Альтернативная гипотеза: Критическая область: Вид критической области: Левосторонняя Правосторонняя Двусторонняя

11 Иванов О.В., 2005 Получение выводов Построив критическую область, вычислим значение статистики по выборке. Для получения выводов мы должны проверить, попало ли выборочное значение статистики в критическую область. Если да, то мы отвергаем основную гипотезу и принимаем альтернативную. Если нет, то принимаем основную.

12 Иванов О.В., 2005 Пример формулирования гипотез Производитель утверждает, что доля брака кофемолок не превышает 2%. Вам предстоит провести выборочное исследование. Вопрос. Как в этом случае следует сформулировать основную и альтернативную гипотезы? Ответ. При проверке нас устроит, если доля брака окажется не выше заявленной производителем. Поэтому при контроле поставки формулируем гипотезы так: Н 0 : p 0,02 Н 1 : p > 0,02

13 Иванов О.В., 2005 Пример. Стиральный порошок Компания год назад провела исследование и выяснила, что 5% покупателей заинтересованы в выпуске нового продукта. Спустя год после начала выпуска, компания провела новое исследование, в ходе которого из 6000 опрошенных 335 положительно отнеслись к выпуску нового продукта. На 2% уровне значимости определить, возрос ли интерес покупателей к новому продукту?

14 Иванов О.В., 2005 Решение Для начала проверим необходимые условия применения критерия: Условия выполнены. Можно приступать к проверке.

15 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости = 0,02. Шаг 3. По таблице находим критическое значение и строим правостороннюю критическую область:

16 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики:

17 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью: Полученное значение статистики попало в критическую область. Мы отклоняем основную гипотезу. Шаг 6. В результате исследования выявлено, что интерес покупателей к новой марке возрос.

18 Иванов О.В., 2005 Пример. Хорошие ли студенты Профессор статистики утверждает, что в прошлом году более половины студентов второго курса сдали экзамен на пятерки и четверки. Усомнившись, несколько студентов решили провести исследование, в ходе которого из 30 опрошенных студентов лишь 12 сдали экзамен по статистике на пятерки и четверки. Есть ли основания думать, что профессор «слукавил»? Проверить гипотезу на уровне значимости 1%.

19 Иванов О.В., 2005 Решение Проверим необходимые условия применения критерия. «Более половины курса» означает, что np и nq заведомо больше 5. Условия выполнены. Можно приступать к проверке.

20 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости = 0,01. Шаг 3. По таблице находим критическое значение и строим правостороннюю критическую область:

21 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики: Не отвергать Отвергнуть

22 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью: Полученное значение статистики не попало в критическую область. Мы принимаем основную гипотезу. Шаг 6. Поскольку в результате эксперимента мы не получили оснований отклонить нулевую гипотезу, у нас нет оснований сомневаться в истинности утверждения профессора о результатах экзамена.

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Гипотеза о дисперсии ГипотезаАлгоритмПример

24 Иванов О.В., 2005 Постановка задачи Имеется генеральная совокупность, имеющая нормальный закон распределения. Параметры (, ). Требуется на основе анализа простой случайной выборки проверить гипотезу о значении неизвестной дисперсии 2 генеральной совокупности.

25 Иванов О.В., 2005 Метод Используем общий принцип проверки статистических гипотез.

26 Иванов О.В., 2005 Гипотезы Основная и альтернативная гипотезы могут быть трех разных видов: IIIIII Нулевая гипотеза: Альтернативная гипотеза: Альтернативная гипотеза: Альтернативная гипотеза:

27 Иванов О.В., 2005 Статистика В качестве статистики выбираем случайную функцию: где- гипотетическая генеральная дисперсия - стандартное отклонение выборки - размер выборки

28 Иванов О.В., 2005 Распределение статистики Используемая статистика имеет 2 -распределение c числом степеней свободы df = n - 1. Для каждого из трех вариантов гипотез построим критические области. Критические значения будем искать при помощи таблиц 2 -распределения.

29 Иванов О.В., 2005 I – Левосторонняя критическая область Альтернативная гипотеза: Уравнение критической области: Подсказка:

30 Иванов О.В., 2005 II – Правосторонняя критическая область Альтернативная гипотеза: Уравнение критической области: Подсказки не требуется.

31 Иванов О.В., 2005 III – Двусторонняя критическая область Альтернативная гипотеза: Уравнения критической области: Подсказка:

32 Иванов О.В., 2005 Построение критической области Альтернативная гипотеза: Критическая область: Вид критической области: Левосторонняя Правосторонняя Двусторонняя

33 Иванов О.В., 2005 Получение выводов Построив критическую область, вычислим значение статистики по выборке. Для получения выводов мы должны проверить, попало ли выборочное значение статистики 2 в критическую область. Если да, то мы отвергаем основную гипотезу и принимаем альтернативную. Если нет, то принимаем основную.

34 Иванов О.В., 2005 Пример. Отклонения в тесте IQ Считается, что среднее значение IQ теста равно 100 со стандартным отклонением 15. Предположим, нам захотелось проверить гипотезу о дисперсии. Создали случайную выборку из 20 человек и вычислили стандартное отклонение этой выборки. Пусть оно оказалось равно 19,4. Есть ли у нас основания считать, что стандартное отклонение генеральной совокупности отличается от 15? Требуется проверить на уровне значимости 1%.

35 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости = 0,01. Шаг 3. По таблице находим критическое значение и строим правостороннюю критическую область:

36 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики: Принимаем Отклоняем

37 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью: Полученное значение статистики не попало в критическую область. Мы принимаем основную гипотезу. Шаг 6. У нас нет оснований считать, что стандартное отклонение больше предполагаемого значения 15.

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г Проверка гипотез в SPSS Пример проверки гипотезы