Системы с наследованием

Если систему можно представить в виде : Где - непрерывные функции, то такая система называется системой с наследованием. Математическое моделирование процессов отбора2

Системы с наследованием широко используются в моделях биофизики, в частности, к ним относятся модель Вольтерра и модель Вольтерра-Лотки. С точки зрения динамики численности биологических видов условие наследования означает, что от родителей -го вида могут появиться потомки только -го вида. Математическое моделирование процессов отбора3

Если -тый вид в системе исчезает, то навсегда, и больше он никогда не появится. Приведём условия когда система является системой с наследованием. Математическое моделирование процессов отбора4

Теорема. Систему, в которой функции, непрерывны по совокупности переменных, удовлетворяют условию Липшица по переменным, имеют непрерывные частные производные в точках, где и удовлетворяют условию квазиположительности в виде равенства: можно представить в форме:, где функции непрерывны. Математическое моделирование процессов отбора5

Доказательство. Функции, определим следующим образом, если (*),если При не равном нулю выполняется равенство: Математическое моделирование процессов отбора6

Если, то в силу левая и правая части равенства обращаются в ноль, поэтому эта система справедлива при любых значениях. Функция, определённая формулой (*) непрерывна при не равном нулю. Проверим её непрерывность в точках, где. Математическое моделирование процессов отбора7

Введём обозначение: - точка, у которой координата координата. В силу условий, тогда из существования частной производной в точке Математическое моделирование процессов отбора8

где - непрерывная функция, бесконечно малая при стремящемся к нулю; Из этого представления следует, что функция, определённая равенством (*), будет непрерывной и при, что и требовалось доказать. Математическое моделирование процессов отбора9